[10] Considere as funçōes
e
. Encontre e determine o domínio da função composta
.
Passo 1
O enunciado pede para "encontrar e determinar o domínio da função composta
". As informações dadas são:
Queremos:
- a expressão explícita de
, e - o domínio dessa função composta.
Passo 2
Definição e regra prática para composições (explicação didática):
- Se
e são funções, . - O domínio de
é o conjunto de que pertencem ao domínio de e tais que pertence ao domínio de . - Para três funções
, o domínio de é o conjunto de que pertencem ao domínio de , tal que pertence ao domínio de e pertence ao domínio de .
Isso significa que, ao compor, devemos propagar restrições de domínio de fora para dentro: o valor produzido por uma função interna tem que ser aceitável pela função externa.
Passo 3
Domínios individuais (passo-a-passo e por quê):
- Para
: o denominador não pode ser zero, logo . Portanto o domínio de é todos os reais exceto . Em notação: . - Para
: polinômios estão definidos para todos os reais, então . - Para
: também é polinomial linear, .
Passo 4
Calcular a composição passo a passo (mostrar substituições):
Primeiro compute :
Primeiro compute
Agora compute
, ou seja
:
Aqui foi só substituir a expressão
na fórmula de
.
Passo 5
Determinar restrições para o domínio da composta (análise das possibilidades de problema):
Precisamos verificar se há valores de que tornam alguma etapa inválida:
Precisamos verificar se há valores de
-
deve estar em : não restringe nada. -
deve estar em : como , não restringe nada. -
deve estar em . Ou seja, precisamos garantir que
Substituindo
, temos a condição
Agora raciocinamos: para
real,
. A expressão
nunca pode ser
quando
é real, pois
. Logo não existe
que viole a condição. Em particular, o denominador final
é sempre estritamente positivo, portanto nunca zera.
Passo 6
Conclusão e dica para prova (resumo prático):
A composição não introduz nenhuma nova restrição além das já consideradas e, como mostramos, nenhuma proibição real surge. Assim a função composta está bem definida para todo . Dica rápida para a prova: sempre verifique a imagem da função interna caber no domínio da externa; aqui isso reduziu a uma equação impossível
, logo domínio inteiro. Um exemplo contrastante: se
e
, então seria preciso
, dando restrição
.
A composição não introduz nenhuma nova restrição além das já consideradas e, como mostramos, nenhuma proibição real surge. Assim a função composta está bem definida para todo