[10] Considere as funçōes f(t)=\frac{t}{t+1}, g(t)=t^{2} e h(t)=t+3. Encontre e determine o domínio da função composta f \circ g \circ h.

Passo 1

O enunciado pede para "encontrar e determinar o domínio da função composta f\circ g\circ h". As informações dadas são:
f(t)=\frac{t}{t+1},\qquad g(t)=t^{2},\qquad h(t)=t+3.
Queremos:
  1. a expressão explícita de (f\circ g\circ h)(t), e
  2. o domínio dessa função composta.

Passo 2

Definição e regra prática para composições (explicação didática):
  • Se f e g são funções, (f\circ g)(t)=f(g(t)).
  • O domínio de f\circ g é o conjunto de t que pertencem ao domínio de g e tais que g(t) pertence ao domínio de f.
  • Para três funções f,g,h, o domínio de f\circ g\circ h é o conjunto de t que pertencem ao domínio de h, tal que h(t) pertence ao domínio de g e g(h(t)) pertence ao domínio de f.
    Isso significa que, ao compor, devemos propagar restrições de domínio de fora para dentro: o valor produzido por uma função interna tem que ser aceitável pela função externa.

Passo 3

Domínios individuais (passo-a-passo e por quê):
  • Para f(t)=\dfrac{t}{t+1}: o denominador não pode ser zero, logo t+1\neq 0. Portanto o domínio de f é todos os reais exceto t=-1. Em notação: \mathrm{Dom}(f)=\mathbb{R}\setminus\{-1\}.
  • Para g(t)=t^{2}: polinômios estão definidos para todos os reais, então \mathrm{Dom}(g)=\mathbb{R}.
  • Para h(t)=t+3: também é polinomial linear, \mathrm{Dom}(h)=\mathbb{R}.

Passo 4

Calcular a composição passo a passo (mostrar substituições):
Primeiro compute g\circ h:
(g\circ h)(t)=g(h(t))=(t+3)^{2}.
Agora compute f\circ (g\circ h), ou seja f(g(h(t))):
(f\circ g\circ h)(t)=f\big((t+3)^{2}\big)=\frac{(t+3)^{2}}{(t+3)^{2}+1}.
Aqui foi só substituir a expressão u=(t+3)^{2} na fórmula de f(u)=\dfrac{u}{u+1}.

Passo 5

Determinar restrições para o domínio da composta (análise das possibilidades de problema):
Precisamos verificar se há valores de t que tornam alguma etapa inválida:
  • t deve estar em \mathrm{Dom}(h)=\mathbb{R}: não restringe nada.
  • h(t) deve estar em \mathrm{Dom}(g)=\mathbb{R}: como \mathrm{Dom}(g)=\mathbb{R}, não restringe nada.
  • g(h(t)) deve estar em \mathrm{Dom}(f)=\mathbb{R}\setminus\{-1\}. Ou seja, precisamos garantir que
g(h(t))\neq -1.
Substituindo g(h(t))=(t+3)^{2}, temos a condição
(t+3)^{2}\neq -1.
Agora raciocinamos: para t real, (t+3)^{2}\ge 0. A expressão (t+3)^{2} nunca pode ser -1 quando t é real, pois -1<0. Logo não existe t\in\mathbb{R} que viole a condição. Em particular, o denominador final (t+3)^{2}+1 é sempre estritamente positivo, portanto nunca zera.

Passo 6

Conclusão e dica para prova (resumo prático):
A composição não introduz nenhuma nova restrição além das já consideradas e, como mostramos, nenhuma proibição real surge. Assim a função composta está bem definida para todo t\in\mathbb{R}. Dica rápida para a prova: sempre verifique a imagem da função interna caber no domínio da externa; aqui isso reduziu a uma equação impossível (t+3)^{2}=-1, logo domínio inteiro. Um exemplo contrastante: se f(u)=1/u e g(t)=t^{2}, então seria preciso t^{2}\neq 0, dando restrição t\neq 0.

Resposta

(f\circ g\circ h)(t)=\dfrac{(t+3)^{2}}{(t+3)^{2}+1}\n
\mathrm{Dom}(f\circ g\circ h)=\mathbb{R}

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