[8] Sejam f(x)=\log _{\frac{1}{2}}\left(2 x^{2}+4\right) e g(x)=-3+\log _{2}\left(\frac{1}{\left(x^{2}+2\right)^{3}}\right). Prove que f(x)=g(x), \forall x \in \mathbb{R}.

Passo 1

O enunciado dá duas funções reais:
f(x)=\log_{\frac{1}{2}}\left(2x^{2}+4\right)
e
g(x)=-3+\log_{2}\!\left(\frac{1}{\left(x^{2}+2\right)^{3}}\right).
A tarefa pedida é: provar que f(x)=g(x) para todo x\in\mathbb{R}.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
\text{para todo }x\in\mathbb{R}\text{ temos }x^{2}\ge 0,
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x^{2}+2\ge 2>0\quad\text{e}\quad 2x^{2}+4=2(x^{2}+2)>0,
portanto os argumentos dos logaritmos são positivos e ambas as funções estão bem definidas para todo x\in\mathbb{R}.

Passo 2

Vamos recordar propriedades elementares de logaritmos que usaremos (com explicação simples):
  1. Fórmula de mudança de base: para a>0,\\ a\neq1 e b>0,
\log_{a} b=\frac{\ln b}{\ln a},
onde \ln é o logaritmo natural. Isso serve para trocar a base de logaritmos. Exemplo: \log_{1/2}4=\dfrac{\ln 4}{\ln(1/2)}.
  1. Relação entre bases 2 e 1/2: como \ln(1/2)=-\ln 2, temos, para qualquer A>0,
\log_{1/2}A=\frac{\ln A}{\ln(1/2)}=-\frac{\ln A}{\ln 2}=-\log_{2}A.
Ou seja, log na base 1/2 é o negativo do log na base 2. Exemplo: \log_{1/2}4=-\log_{2}4.
  1. Potência dentro do logaritmo: para A>0 e k\in\mathbb{R},
\log_{b}\left(A^{k}\right)=k\log_{b}A.
Exemplo: \log_{2}((x^2+2)^{-3})=-3\log_{2}(x^2+2).
  1. Produto dentro do logaritmo: para A,B>0,
\log_{b}(AB)=\log_{b}A+\log_{b}B.
Exemplo: \log_{2}(2(x^2+2))=\log_{2}2+\log_{2}(x^2+2)=1+\log_{2}(x^2+2).
Vou usar essas propriedades passo a passo para simplificar f e g.

Passo 3

Simplificação de f(x). Aplicando a relação entre bases 1/2 e 2 (item 2 do passo anterior):
\begin{aligned} f(x)&=\log_{\frac{1}{2}}\left(2x^{2}+4\right)\\[4pt] &=-\log_{2}\left(2x^{2}+4\right). \end{aligned}
Agora uso que 2x^{2}+4=2(x^{2}+2) e a propriedade do produto (item 4):
\begin{aligned} \log_{2}\left(2x^{2}+4\right)&=\log_{2}\big(2(x^{2}+2)\big)\\[4pt] &=\log_{2}2+\log_{2}\big(x^{2}+2\big)\\[4pt] &=1+\log_{2}\big(x^{2}+2\big). \end{aligned}
Portanto
\begin{aligned} f(x)&=-\log_{2}\left(2x^{2}+4\right)\\[4pt] &=-(1+\log_{2}(x^{2}+2))\\[4pt] &=-1-\log_{2}(x^{2}+2). \end{aligned}]

Passo 4

Simplificação de g(x). Começo por manipular o logaritmo que aparece em g:
\begin{aligned} g(x)&=-3+\log_{2}\!\left(\frac{1}{(x^{2}+2)^{3}}\right)\\[4pt] &=-3+\log_{2}\big((x^{2}+2)^{-3}\big). \end{aligned}
Agora aplico a propriedade da potência dentro do logaritmo (item 3):
\log_{2}\big((x^{2}+2)^{-3}\big)=-3\log_{2}(x^{2}+2).
Substituindo em g:
\begin{aligned} g(x)&=-3-3\log_{2}(x^{2}+2)\\[4pt] &=-3\big(1+\log_{2}(x^{2}+2)\big). \end{aligned}]

Passo 5

Comparação das expressões simplificadas de f e g.
Temos, para todo x\in\mathbb{R},
f(x)=-1-\log_{2}(x^{2}+2)
e
g(x)=-3-3\log_{2}(x^{2}+2).
Se hipoteticamente f(x)=g(x) para algum x, então, denotando L=\log_{2}(x^{2}+2), deveríamos ter
-1-L=-3-3L.
Resolvendo essa equação para L:
\begin{aligned} -1-L&=-3-3L\\[4pt] \Rightarrow -1+3&=-3L+L\\[4pt] \Rightarrow 2&=-2L\\[4pt] \Rightarrow L&=-1. \end{aligned}
Assim, a igualdade exigiria \log_{2}(x^{2}+2)=-1, o que implica
x^{2}+2=2^{-1}=\tfrac{1}{2}.
Logo
x^{2}=\tfrac{1}{2}-2=-\tfrac{3}{2},
o que é impossível para x\in\mathbb{R} porque x^{2}\ge 0. Portanto não existe x\in\mathbb{R} que satisfaça f(x)=g(x).]

Passo 6

Contraexemplo numérico simples para ver na prática que as funções não coincidem: tome x=0. Então
\begin{aligned} f(0)&=\log_{\frac{1}{2}}(2\cdot 0^{2}+4)=\log_{\frac{1}{2}}4=-2,\\[4pt] g(0)&=-3+\log_{2}\!\left(\tfrac{1}{(0^{2}+2)^{3}}\right)=-3+\log_{2}\!\left(\tfrac{1}{8}\right)=-3-3=-6. \end{aligned}
Como -2\neq -6, temos explicitamente f(0)\neq g(0), o que confirma que a afirmação f(x)=g(x) para todo x\in\mathbb{R} é falsa.]

Passo 7

Conclusão e observação final: a afirmação do enunciado (que f(x)=g(x) para todo x\in\mathbb{R}) é falsa; na realidade não existe x\in\mathbb{R} com f(x)=g(x). (Observação: se o enunciado tivesse sido escrito com um expoente 3 também em f, isto é, se \;f(x)=\log_{1/2}\big((2x^{2}+4)^{3}\big), então as duas expressões se tornariam iguais após simplificação. Mas com as fórmulas dadas originalmente a igualdade não ocorre.)

Resposta

A afirmação é falsa. Contraexemplo: x=0 f(0)=-2 e g(0)=-6, logo f\not\equiv g em \mathbb{R}.

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