[8] Sejam
e
. Prove que
.
Passo 1
O enunciado dá duas funções reais:
e
A tarefa pedida é: provar que
para todo
.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
logo
portanto os argumentos dos logaritmos são positivos e ambas as funções estão bem definidas para todo
.
Passo 2
Vamos recordar propriedades elementares de logaritmos que usaremos (com explicação simples):
- Fórmula de mudança de base: para
e ,
onde
é o logaritmo natural. Isso serve para trocar a base de logaritmos. Exemplo:
.
- Relação entre bases
e : como , temos, para qualquer ,
Ou seja, log na base
é o negativo do log na base
. Exemplo:
.
- Potência dentro do logaritmo: para
e ,
Exemplo:
.
- Produto dentro do logaritmo: para
,
Exemplo:
.
Vou usar essas propriedades passo a passo para simplificar
e
.
Passo 3
Simplificação de
. Aplicando a relação entre bases
e
(item 2 do passo anterior):
Agora uso que
e a propriedade do produto (item 4):
Portanto
Passo 4
Simplificação de
. Começo por manipular o logaritmo que aparece em
:
Agora aplico a propriedade da potência dentro do logaritmo (item 3):
Substituindo em
:
Passo 5
Comparação das expressões simplificadas de
e
.
Temos, para todo
,
e
Se hipoteticamente
para algum
, então, denotando
, deveríamos ter
Resolvendo essa equação para
:
Assim, a igualdade exigiria
, o que implica
Logo
o que é impossível para
porque
. Portanto não existe
que satisfaça
.]
Passo 6
Contraexemplo numérico simples para ver na prática que as funções não coincidem: tome
. Então
Como
, temos explicitamente
, o que confirma que a afirmação
para todo
é falsa.]
Passo 7
Conclusão e observação final: a afirmação do enunciado (que
para todo
) é falsa; na realidade não existe
com
. (Observação: se o enunciado tivesse sido escrito com um expoente
também em
, isto é, se
, então as duas expressões se tornariam iguais após simplificação. Mas com as fórmulas dadas originalmente a igualdade não ocorre.)
Resposta
A afirmação é falsa. Contraexemplo:
dá
e
, logo
em
.