Provar que \int_{S} \int \mathbf{r} \times d \mathbf{S}=0 para qualquer superfície fechada S.

Passo 1

O enunciado pede para provar que
\int_{S} \mathbf{r}\times d\mathbf{S} = 0
para qualquer superfície fechada S. Aqui estão as informações relevantes que temos do enunciado:
  • S é uma superfície fechada que delimita um volume V.
  • \mathbf{r} é o vetor posição \mathbf{r}=x\mathbf{e}_1+y\mathbf{e}_2+z\mathbf{e}_3.
  • d\mathbf{S} é o elemento vetorial de superfície, que podemos escrever como d\mathbf{S}=\mathbf{n}\,dS, onde \mathbf{n} é o vetor normal unitário (tomaremos a orientação usual para superfície fechada: normal exterior).
  • A expressão a provar é um integral vetorial sobre S; o resultado esperado é o vetor nulo.

Passo 2

Estratégia (explicada sem formalizar fórmulas ainda): vamos provar que cada componente do vetor \int_{S}\mathbf{r}\times d\mathbf{S} é zero. Para isso usaremos duas ferramentas simples e muito úteis:
  1. A identidade do produto escalar e produto vetorial (produto misto): para vetores fixos \mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c} vale
\mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}\times\mathbf{c})=\mathbf{b}\cdot(\mathbf{c}\times\mathbf{a})=\mathbf{c}\cdot(\mathbf{a}\times\mathbf{b}).
Essa identidade permite trocar a ordem dentro de um produto misto, o que será útil para transformar componentes de um produto vetorial em fluxos de um campo vetorial.
  1. O teorema da divergência (Gauss): para um campo vetorial suficientemente suave \mathbf{F},
\int_{S}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{S}=\int_{V}\nabla\cdot\mathbf{F}\,dV,
onde V é o volume delimitado por S. Assim, se conseguirmos representar cada componente do integrando como o fluxo de um campo \mathbf{F} cuja divergência é zero, a integral sobre S será zero.
Vou agora aplicar essas ideias passo a passo, com as contas explícitas.

Passo 3

Transformando cada componente em um fluxo: seja \{\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\mathbf{e}_3\} a base canônica. A i-ésima componente do vetor integral é
\left(\int_{S}\mathbf{r}\times d\mathbf{S}\right)_i=\int_{S}\bigl(\mathbf{r}\times\mathbf{n}\bigr)\cdot\mathbf{e}_i\,dS.
Usando a identidade do produto misto com \mathbf{a}=\mathbf{e}_i, \mathbf{b}=\mathbf{r}, \mathbf{c}=\mathbf{n}, obtemos
\bigl(\mathbf{r}\times\mathbf{n}\bigr)\cdot\mathbf{e}_i=(\mathbf{e}_i\times\mathbf{r})\cdot\mathbf{n}.
Portanto
\left(\int_{S}\mathbf{r}\times d\mathbf{S}\right)_i=\int_{S}(\mathbf{e}_i\times\mathbf{r})\cdot\mathbf{n}\,dS=\int_{S}\mathbf{F}_i\cdot d\mathbf{S},
onde definimos o campo vetorial
\mathbf{F}_i=\mathbf{e}_i\times\mathbf{r}.
Agora a i-ésima componente foi reescrita como o fluxo do campo \mathbf{F}_i através de S.

Passo 4

Aplicando o teorema da divergência: pelo teorema da divergência,
\int_{S}\mathbf{F}_i\cdot d\mathbf{S}=\int_{V}\nabla\cdot\mathbf{F}_i\,dV.
Logo basta mostrar que \nabla\cdot\mathbf{F}_i=0 em V; nesse caso a integral de volume é zero e, portanto, a componente i da integral de superfície é zero.

Passo 5

Cálculo explícito de \nabla\cdot\mathbf{F}_i: vejamos os três casos (a conta é curta e direta).
  • Para i=1 (ou seja \mathbf{e}_1=\hat{\mathbf{x}}):
\mathbf{F}_1=\mathbf{e}_1\times\mathbf{r}=\hat{\mathbf{x}}\times(x\hat{\mathbf{x}}+y\hat{\mathbf{y}}+z\hat{\mathbf{z}})=0\hat{\mathbf{x}}-z\hat{\mathbf{y}}+y\hat{\mathbf{z}}.
Portanto
\nabla\cdot\mathbf{F}_1=\frac{\partial}{\partial x}0+\frac{\partial}{\partial y}(-z)+\frac{\partial}{\partial z}(y)=0+0+0=0.
  • Para i=2 (ou seja \mathbf{e}_2=\hat{\mathbf{y}}):
\mathbf{F}_2=\hat{\mathbf{y}}\times\mathbf{r}=z\hat{\mathbf{x}}+0\hat{\mathbf{y}}-x\hat{\mathbf{z}},
logo
\nabla\cdot\mathbf{F}_2=\frac{\partial}{\partial x}(z)+\frac{\partial}{\partial y}0+\frac{\partial}{\partial z}(-x)=0+0+0=0.
  • Para i=3 (ou seja \mathbf{e}_3=\hat{\mathbf{z}}):
\mathbf{F}_3=\hat{\mathbf{z}}\times\mathbf{r}=-y\hat{\mathbf{x}}+x\hat{\mathbf{y}}+0\hat{\mathbf{z}},
logo
\nabla\cdot\mathbf{F}_3=\frac{\partial}{\partial x}(-y)+\frac{\partial}{\partial y}(x)+\frac{\partial}{\partial z}0=0+0+0=0.
Em todos os três casos a divergência é identicamente zero porque cada componente de \mathbf{F}_i é uma função linear que depende de uma coordenada diferente daquela em que se deriva.

Passo 6

Conclusão das componentes e do vetor: como para cada i
\left(\int_{S}\mathbf{r}\times d\mathbf{S}\right)_i=\int_{V}\nabla\cdot\mathbf{F}_i\,dV=0,
seguimos que todas as componentes do vetor integral são zero. Portanto o integral vetorial é o vetor nulo:
\int_{S}\mathbf{r}\times d\mathbf{S}=\mathbf{0}.
Intuitivamente: o campo \mathbf{e}_i\times\mathbf{r} tem divergência nula, então seu fluxo total por uma superfície fechada se anula; isso vale para cada componente do produto vetorial pedido.

Resposta

\mathbf{0}

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