Provar que
para qualquer superfície fechada
.
Passo 1
O enunciado pede para provar que
para qualquer superfície fechada
. Aqui estão as informações relevantes que temos do enunciado:
-
é uma superfície fechada que delimita um volume . -
é o vetor posição . -
é o elemento vetorial de superfície, que podemos escrever como , onde é o vetor normal unitário (tomaremos a orientação usual para superfície fechada: normal exterior). - A expressão a provar é um integral vetorial sobre
; o resultado esperado é o vetor nulo.
Passo 2
Estratégia (explicada sem formalizar fórmulas ainda): vamos provar que cada componente do vetor
é zero. Para isso usaremos duas ferramentas simples e muito úteis:
- A identidade do produto escalar e produto vetorial (produto misto): para vetores fixos
vale
Essa identidade permite trocar a ordem dentro de um produto misto, o que será útil para transformar componentes de um produto vetorial em fluxos de um campo vetorial.
- O teorema da divergência (Gauss): para um campo vetorial suficientemente suave
,
onde
é o volume delimitado por
. Assim, se conseguirmos representar cada componente do integrando como o fluxo de um campo
cuja divergência é zero, a integral sobre
será zero.
Vou agora aplicar essas ideias passo a passo, com as contas explícitas.
Passo 3
Transformando cada componente em um fluxo: seja
a base canônica. A
-ésima componente do vetor integral é
Usando a identidade do produto misto com
,
,
, obtemos
Portanto
onde definimos o campo vetorial
Agora a
-ésima componente foi reescrita como o fluxo do campo
através de
.
Passo 4
Aplicando o teorema da divergência: pelo teorema da divergência,
Logo basta mostrar que
em
; nesse caso a integral de volume é zero e, portanto, a componente
da integral de superfície é zero.
Passo 5
Cálculo explícito de
: vejamos os três casos (a conta é curta e direta).
- Para
(ou seja ):
Portanto
- Para
(ou seja ):
logo
- Para
(ou seja ):
logo
Em todos os três casos a divergência é identicamente zero porque cada componente de
é uma função linear que depende de uma coordenada diferente daquela em que se deriva.
Passo 6
Conclusão das componentes e do vetor: como para cada
seguimos que todas as componentes do vetor integral são zero. Portanto o integral vetorial é o vetor nulo:
Intuitivamente: o campo
tem divergência nula, então seu fluxo total por uma superfície fechada se anula; isso vale para cada componente do produto vetorial pedido.