[11] Considere as funçōes
e
.
(a) Determine as imagens diretas
e as imagens inversas
.
(b) Determine as compostas
, e
.
(c) Verifique se
e
são bijetivas.
(a) Determine as imagens diretas
(b) Determine as compostas
(c) Verifique se
Passo 1
O enunciado dá duas funções e pede três coisas. Vou listar claramente o que foi dado e o que é pedido, sem resolver nada ainda.
Dados:
Aqui tomo
(valor não negativo).
O que se pede:
(a) Calcular as imagens diretas e
e as imagens inversas
e
.
(b) Determinar as compostas para
e
para
.
(c) Verificar se e
são bijetivas (i.e., injetoras e sobrejetoras entre os conjuntos dados).
(a) Calcular as imagens diretas
(b) Determinar as compostas
(c) Verificar se
Passo 2
Vamos calcular
por substituição direta na definição de
.
Substituindo
em
obtemos
Aqui não há simplificação algébrica adicional elementar: mantemos
como está. Isto já é a imagem pedida.
Passo 3
Agora calculamos
por substituição direta na definição de
.
Temos
. Então
. Substituindo em
obtemos
Portanto
.
Passo 4
Definição e cálculo de
(imagem inversa / pré-imagem de
por
).
Por definição
. Mas para todo
temos
logo
nunca é
. Assim não existe
com
, e portanto
Passo 5
Cálculo de
, isto é, resolver
para
.
Escrevemos a equação
Elevando ambos os lados ao quadrado (pois ambos são não negativos):
Agora exponenciando (aplicando
) obtemos
Invertemos e isolamos
:
Verificação do domínio:
, então
, logo a solução é admissível. Portanto
Passo 6
Cálculo da composta
para
.
Pelo definição de composição,
Mas por definição de
temos
Substituindo:
Usamos a propriedade dos expoentes e logaritmos: para
,
. Aqui
, então
Logo
Portanto
para todo
; isto é,
é a função identidade em
.
Passo 7
Cálculo da composta
para
.
Pela definição,
Mas
, então
. Assim
Tomando o logaritmo natural:
Agora a raiz quadrada:
Recordando a identidade
. Como o domínio aqui é
(valores não negativos), temos
. Assim
Portanto
é a identidade em
.
Passo 8
Conclusão sobre bijetividade de
e
.
Definição curta: uma função é bijetora se for injetora e sobrejetora entre domínio e contradomínio. Uma maneira rápida de verificar bijetividade é mostrar que existe uma função inversa; se
e
são inversas uma da outra (ou seja,
e
), então ambas são bijetoras.
Do Passo 6 e do Passo 7 vimos exatamente que
Isto mostra que
é a inversa de
e
é a inversa de
. Portanto ambas são bijetoras (injetoras e sobrejetoras) entre os conjuntos indicados.
Como observação alternativa (didática): poderia-se também argumentar mostrando que
é estritamente decrescente em
e atinge todos os valores em
(logo injetora e sobrejetora), e análogamente para
(estritamente decrescente em
com imagem
). Mas a prova via composições identidade já é suficiente e direta.
Resposta
(a)
\
\
\
(b)
\
(c) Ambas
e
são bijetivas (são inversas uma da outra).