10 - Considere uma parede plana com 100 mm de espessura e condutividade térmica igual a 100 \mathrm{~W} / \mathrm{mK}. Sabe-se que há condições de regime estacionário quando T_{1}=400 \mathrm{~K} e T_{2} =600 \mathrm{~K}. Determine o fluxo térmico e o gradiente de temperatura (d T / d x) para os sistemas de coordenadas mostrados.

Passo 1

Vamos identificar exatamente o que o enunciado e a figura nos dão e o que pedem — respira, vamos devagar.
Dados fornecidos (peguei estes valores do enunciado):
  • Espessura da parede: L=100\\ \text{mm}=0{,}1\\ \text{m}.
  • Condutividade térmica: k=100\\ \text{W}\!/\!\text{mK}.
  • Temperaturas nas faces: T_{1}=400\\ \text{K} e T_{2}=600\\ \text{K}.
Informações geométricas / de orientações que peguei da imagem:
  • (a) eixo x apontando para a direita; face esquerda com T_{1}=400\\ \text{K} e face direita com T_{2}=600\\ \text{K}.
  • (b) eixo x apontando para a esquerda; face esquerda com T_{1}=400\\ \text{K} e face direita com T_{2}=600\\ \text{K}.
  • (c) eixo x apontando para a esquerda; face esquerda com T_{2}=600\\ \text{K} e face direita com T_{1}=400\\ \text{K}.
O que o problema pede:
  • Determinar o fluxo térmico (densidade de fluxo de calor) q_x e o gradiente de temperatura dT/dx para cada um dos três sistemas de coordenadas ((a), (b) e (c)).

Passo 2

Princípios físicos que vamos usar (mini-aula prazerosa e prática):
  1. Em regime estacionário unidimensional, sem geração interna, a equação da condução dá que a distribuição de temperatura é linear ao longo da espessura. Então o gradiente é constante e pode ser calculado como diferença de temperaturas dividida pela distância entre as faces:
\frac{dT}{dx}=\frac{T(\text{face direita})-T(\text{face esquerda})}{\Delta x},
onde \Delta x é a distância entre as duas faces (aqui \Delta x=L), e atenção: é preciso usar as coordenadas do desenho (ou seja, saber qual face tem qual coordenada).
  1. Lei de Fourier (sentido e sinal): a densidade de fluxo de calor na direção x é
q_x=-k\,\frac{dT}{dx}.
Explicando: q_x tem unidades \text{W}\!/\!\text{m}^2. O sinal negativo aparece porque o calor sempre flui do quente para o frio; se a temperatura cresce com x ( dT/dx>0), então q_x<0 (fluxo no sentido negativo de x), e vice-versa. Vou sempre dizer também a direção física do fluxo (da face quente para a fria).

Passo 3

Preparando os números que vamos usar:
  • L=0{,}1\\ \text{m}.
  • \Delta T = T_2-T_1 = 600-400=200\\ \text{K}.
Como a temperatura varia linearmente, o valor absoluto do gradiente (módulo) é
\left|\frac{dT}{dx}\right|=\frac{\Delta T}{L}=\frac{200}{0{,}1}=2000\\ \text{K/m}.
Agora só falta ajustar o sinal do gradiente segundo a orientação do eixo x em cada figura e aplicar Fourier.

Passo 4

Caso (a): eixo x apontando para a direita; face esquerda em x=0 tem T_1=400\\ \text{K} e face direita em x=L tem T_2=600\\ \text{K}.
  • Gradiente:
\frac{dT}{dx}=\frac{T_2-T_1}{L}=\frac{600-400}{0{,}1}=2000\\ \text{K/m}.
Interpretação: a temperatura aumenta quando x aumenta (para a direita).
  • Fluxo (Lei de Fourier):
q_x=-k\,\frac{dT}{dx}=-100\cdot 2000=-200000\\ \text{W/m}^2.
Interpretação do sinal: q_x<0 significa que o calor flui no sentido negativo de x, ou seja, da face direita (quente, T_2) para a face esquerda (fria, T_1). Em módulo, |q_x|=2{,}0\times10^{5}\\ \text{W/m}^2.

Passo 5

Caso (b): eixo x apontando para a esquerda; geometricamente a face esquerda tem T_1=400\\ \text{K} e a face direita tem T_2=600\\ \text{K}. Como o eixo foi invertido, ao mover-se no sentido de x (para a esquerda) a temperatura diminui.
Para calcular o gradiente usemos posições: escolha x=0 na face direita e x=L na face esquerda (coerente com seta para a esquerda). Então
\frac{dT}{dx}=\frac{T(\text{face direita})-T(\text{face esquerda})}{x_{\text{direita}}-x_{\text{esquerda}}}=\frac{T_2-T_1}{0-L}=\frac{200}{-0{,}1}=-2000\\ \text{K/m}.
(mais direto: inverter o sentido do eixo muda o sinal do gradiente em relação ao caso (a).)
  • Fluxo:
q_x=-k\,\frac{dT}{dx}=-100\cdot(-2000)=+200000\\ \text{W/m}^2.
Interpretação do sinal: q_x>0 significa que o calor flui no sentido positivo de x (que aqui é para a esquerda). Isso corresponde fisicamente ao calor indo da face quente (direita, T_2) para a face fria (esquerda, T_1), ou seja, fluxo da direita para a esquerda — consistente. Módulo: |q_x|=2{,}0\times10^{5}\\ \text{W/m}^2.

Passo 6

Caso (c): eixo x apontando para a esquerda; agora a face esquerda é a quente ( T_2=600\\ \text{K}) e a face direita é a fria ( T_1=400\\ \text{K}) — perceba que as temperaturas nas faces trocaram de posição em relação a (a)/(b).
Escolhendo x=0 na face direita e x=L na face esquerda (coerente com seta para a esquerda), temos:
\frac{dT}{dx}=\frac{T(\text{face direita})-T(\text{face esquerda})}{x_{\text{direita}}-x_{\text{esquerda}}}=\frac{T_1-T_2}{0-L}=\frac{400-600}{-0{,}1}=\frac{-200}{-0{,}1}=2000\\ \text{K/m}.
(ou, mais intuitivo: como a face esquerda é quente e x aumenta para a esquerda, a temperatura aumenta com x, logo gradiente positivo.)
  • Fluxo:
q_x=-k\,\frac{dT}{dx}=-100\cdot 2000=-200000\\ \text{W/m}^2.
Interpretação: q_x<0 indica fluxo no sentido negativo de x (para a direita). Fisicamente o calor vai da face quente (esquerda) para a fria (direita), isto é, da esquerda para a direita — que corresponde ao sentido negativo de x aqui. Módulo: |q_x|=2{,}0\times10^{5}\\ \text{W/m}^2.

Passo 7

Resumo interpretativo (rápido e encorajador): o módulo do gradiente e do fluxo é o mesmo em todos os casos (porque o problema físico é o mesmo): \left|\dfrac{dT}{dx}\right|=2000\\ \text{K/m} e |q_x|=2{,}0\times10^{5}\\ \text{W/m}^2. O que muda entre (a),(b),(c) é o sinal do gradiente e do fluxo devido à escolha do eixo x e à posição das temperaturas nas faces — por isso é sempre crucial checar a orientação do eixo antes de interpretar o sinal.

Resposta

(a) \dfrac{dT}{dx}=2000\\ \text{K/m} \quad q_x=-2{,}0\times10^{5}\\ \text{W/m}^2
(b) \dfrac{dT}{dx}=-2000\\ \text{K/m} \quad q_x=+2{,}0\times10^{5}\\ \text{W/m}^2
(c) \dfrac{dT}{dx}=2000\\ \text{K/m} \quad q_x=-2{,}0\times10^{5}\\ \text{W/m}^2

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