10 - Considere uma parede plana com 100 mm de espessura e condutividade térmica igual a 100 \mathrm{~W} / \mathrm{mK}. Sabe-se que há condições de regime estacionário quando T_{1}=400 \mathrm{~K} e T_{2} =600 \mathrm{~K}. Determine o fluxo térmico e o gradiente de temperatura (d T / d x) para os sistemas de coordenadas mostrados.
Passo 1
Vamos identificar exatamente o que o enunciado e a figura nos dão e o que pedem — respira, vamos devagar.
Dados fornecidos (peguei estes valores do enunciado):
Espessura da parede: L=100\\ \text{mm}=0{,}1\\ \text{m}.
Temperaturas nas faces: T_{1}=400\\ \text{K} e T_{2}=600\\ \text{K}.
Informações geométricas / de orientações que peguei da imagem:
(a) eixo x apontando para a direita; face esquerda com T_{1}=400\\ \text{K} e face direita com T_{2}=600\\ \text{K}.
(b) eixo x apontando para a esquerda; face esquerda com T_{1}=400\\ \text{K} e face direita com T_{2}=600\\ \text{K}.
(c) eixo x apontando para a esquerda; face esquerda com T_{2}=600\\ \text{K} e face direita com T_{1}=400\\ \text{K}.
O que o problema pede:
Determinar o fluxo térmico (densidade de fluxo de calor) q_x e o gradiente de temperatura dT/dx para cada um dos três sistemas de coordenadas ((a), (b) e (c)).
Passo 2
Princípios físicos que vamos usar (mini-aula prazerosa e prática):
Em regime estacionário unidimensional, sem geração interna, a equação da condução dá que a distribuição de temperatura é linear ao longo da espessura. Então o gradiente é constante e pode ser calculado como diferença de temperaturas dividida pela distância entre as faces:
onde \Delta x é a distância entre as duas faces (aqui \Delta x=L), e atenção: é preciso usar as coordenadas do desenho (ou seja, saber qual face tem qual coordenada).
Lei de Fourier (sentido e sinal): a densidade de fluxo de calor na direção x é
q_x=-k\,\frac{dT}{dx}.
Explicando: q_x tem unidades \text{W}\!/\!\text{m}^2. O sinal negativo aparece porque o calor sempre flui do quente para o frio; se a temperatura cresce com x (dT/dx>0), então q_x<0 (fluxo no sentido negativo de x), e vice-versa. Vou sempre dizer também a direção física do fluxo (da face quente para a fria).
Passo 3
Preparando os números que vamos usar:
L=0{,}1\\ \text{m}.
\Delta T = T_2-T_1 = 600-400=200\\ \text{K}.
Como a temperatura varia linearmente, o valor absoluto do gradiente (módulo) é
Interpretação do sinal: q_x<0 significa que o calor flui no sentido negativo de x, ou seja, da face direita (quente, T_2) para a face esquerda (fria, T_1). Em módulo, |q_x|=2{,}0\times10^{5}\\ \text{W/m}^2.
Passo 5
Caso (b): eixo x apontando para a esquerda; geometricamente a face esquerda tem T_1=400\\ \text{K} e a face direita tem T_2=600\\ \text{K}. Como o eixo foi invertido, ao mover-se no sentido de x (para a esquerda) a temperatura diminui.
Para calcular o gradiente usemos posições: escolha x=0 na face direita e x=L na face esquerda (coerente com seta para a esquerda). Então
Interpretação do sinal: q_x>0 significa que o calor flui no sentido positivo de x (que aqui é para a esquerda). Isso corresponde fisicamente ao calor indo da face quente (direita, T_2) para a face fria (esquerda, T_1), ou seja, fluxo da direita para a esquerda — consistente. Módulo: |q_x|=2{,}0\times10^{5}\\ \text{W/m}^2.
Passo 6
Caso (c): eixo x apontando para a esquerda; agora a face esquerda é a quente (T_2=600\\ \text{K}) e a face direita é a fria (T_1=400\\ \text{K}) — perceba que as temperaturas nas faces trocaram de posição em relação a (a)/(b).
Escolhendo x=0 na face direita e x=L na face esquerda (coerente com seta para a esquerda), temos:
Interpretação: q_x<0 indica fluxo no sentido negativo de x (para a direita). Fisicamente o calor vai da face quente (esquerda) para a fria (direita), isto é, da esquerda para a direita — que corresponde ao sentido negativo de x aqui. Módulo: |q_x|=2{,}0\times10^{5}\\ \text{W/m}^2.
Passo 7
Resumo interpretativo (rápido e encorajador): o módulo do gradiente e do fluxo é o mesmo em todos os casos (porque o problema físico é o mesmo): \left|\dfrac{dT}{dx}\right|=2000\\ \text{K/m} e |q_x|=2{,}0\times10^{5}\\ \text{W/m}^2. O que muda entre (a),(b),(c) é o sinal do gradiente e do fluxo devido à escolha do eixo x e à posição das temperaturas nas faces — por isso é sempre crucial checar a orientação do eixo antes de interpretar o sinal.