15 - Uma casca esférica de vidro Pyrex tem diâmetros interno e externo de D_{1}=0,1 \mathrm{~m} \mathrm{e} D_{2}=0,2 \mathrm{~m}, respectivamente. A superficie interna está a T_{s, 1}=100^{\circ} \mathrm{C} e a superfície externa está a T_{s, 2}=45^{\circ} \mathrm{C}. Determine a temperatura no ponto central da espessura da casca ( r_{\mathrm{m}}= 0,075 \mathrm{~m} ).
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Dados (peguei estes valores do enunciado):
Diâmetro interno: D_{1}=0,1\\ \mathrm{m}. Logo o raio interno é r_{1}=\dfrac{D_{1}}{2}=0,05\\ \mathrm{m}.
Diâmetro externo: D_{2}=0,2\\ \mathrm{m}. Logo o raio externo é r_{2}=\dfrac{D_{2}}{2}=0,10\\ \mathrm{m}.
Temperatura da superfície interna: T_{s,1}=100^\circ\mathrm{C}.
Temperatura da superfície externa: T_{s,2}=45^\circ\mathrm{C}.
Ponto onde se quer a temperatura: r_{\mathrm{m}}=0,075\\ \mathrm{m} (ponto médio da espessura).
O que o enunciado pede:
Determinar a temperatura em r_{\mathrm{m}}=0,075\\ \mathrm{m}, ou seja, T(r_{\mathrm{m}}).
Passo 2
Entender o modelo físico e a equação a usar (explicação didática).
Estamos no regime de condução estacionária de calor através de uma casca esférica homogênea, sem geração interna de calor. Em regime estacionário a taxa de calor que atravessa qualquer esfera concêntrica é a mesma (fluxo radial constante). A lei local de condução de Fourier em coordenadas radiais dá:
q_r = -k\,A(r)\,\frac{dT}{dr},
onde:
q_r é a taxa de calor que atravessa a superfície esférica de raio r (unidade: W),
k é a condutividade térmica do vidro (unidade: W/m·K). Aqui não precisamos do valor numérico de k para obter a distribuição de temperatura, pois o campo de temperatura entre superfícies conhecidas independe de k quando as temperaturas de contorno são fixas (o k aparece apenas no fluxo),
A(r) é a área da superfície esférica de raio r: A(r)=4\pi r^{2},
\dfrac{dT}{dr} é o gradiente radial de temperatura.
Explicando em miúdos: o fluxo por uma casca esférica depende da área que cresce com r^{2}, por isso a variação de temperatura com r não é linear (ao contrário da placa plana). Vamos integrar essa relação para achar T(r).
Passo 3
Derivação passo a passo da expressão de T(r).
A equação é
q_r = -k\,4\pi r^{2}\,\frac{dT}{dr}.
Como \,q_r é constante (regime estacionário sem geração), podemos isolar \dfrac{dT}{dr}:
Arredondando de forma usual (duas casas decimais): T(r_{\mathrm{m}})\approx63{,}33^\circ\mathrm{C}.
Passo 6
Interpretação curta e incentivo.
Resultado faz sentido: a temperatura no meio da espessura fica entre 100^\circ\mathrm{C} (interno) e 45^\circ\mathrm{C} (externo); como a resistência térmica varia com 1/r na esfera, o ponto médio em r não corresponde a média aritmética das temperaturas, e por isso o valor 63{,}33^\circ\mathrm{C} não é simplesmente (100+45)/2. Mandou bem por pedir o passo a passo — agora você consegue aplicar essa derivação para qualquer casca esférica.