15 - Uma casca esférica de vidro Pyrex tem diâmetros interno e externo de D_{1}=0,1 \mathrm{~m} \mathrm{e} D_{2}=0,2 \mathrm{~m}, respectivamente. A superficie interna está a T_{s, 1}=100^{\circ} \mathrm{C} e a superfície externa está a T_{s, 2}=45^{\circ} \mathrm{C}. Determine a temperatura no ponto central da espessura da casca ( r_{\mathrm{m}}= 0,075 \mathrm{~m} ).

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados (peguei estes valores do enunciado):
    • Diâmetro interno: D_{1}=0,1\\ \mathrm{m}. Logo o raio interno é r_{1}=\dfrac{D_{1}}{2}=0,05\\ \mathrm{m}.
    • Diâmetro externo: D_{2}=0,2\\ \mathrm{m}. Logo o raio externo é r_{2}=\dfrac{D_{2}}{2}=0,10\\ \mathrm{m}.
    • Temperatura da superfície interna: T_{s,1}=100^\circ\mathrm{C}.
    • Temperatura da superfície externa: T_{s,2}=45^\circ\mathrm{C}.
    • Ponto onde se quer a temperatura: r_{\mathrm{m}}=0,075\\ \mathrm{m} (ponto médio da espessura).
  • O que o enunciado pede:
    • Determinar a temperatura em r_{\mathrm{m}}=0,075\\ \mathrm{m}, ou seja, T(r_{\mathrm{m}}).

Passo 2

Entender o modelo físico e a equação a usar (explicação didática).
Estamos no regime de condução estacionária de calor através de uma casca esférica homogênea, sem geração interna de calor. Em regime estacionário a taxa de calor que atravessa qualquer esfera concêntrica é a mesma (fluxo radial constante). A lei local de condução de Fourier em coordenadas radiais dá:
q_r = -k\,A(r)\,\frac{dT}{dr},
onde:
  • q_r é a taxa de calor que atravessa a superfície esférica de raio r (unidade: W),
  • k é a condutividade térmica do vidro (unidade: W/m·K). Aqui não precisamos do valor numérico de k para obter a distribuição de temperatura, pois o campo de temperatura entre superfícies conhecidas independe de k quando as temperaturas de contorno são fixas (o k aparece apenas no fluxo),
  • A(r) é a área da superfície esférica de raio r: A(r)=4\pi r^{2},
  • \dfrac{dT}{dr} é o gradiente radial de temperatura.
Explicando em miúdos: o fluxo por uma casca esférica depende da área que cresce com r^{2}, por isso a variação de temperatura com r não é linear (ao contrário da placa plana). Vamos integrar essa relação para achar T(r).

Passo 3

Derivação passo a passo da expressão de T(r).
A equação é
q_r = -k\,4\pi r^{2}\,\frac{dT}{dr}.
Como \,q_r é constante (regime estacionário sem geração), podemos isolar \dfrac{dT}{dr}:
\frac{dT}{dr} = -\frac{q_r}{4\pi k}\,\frac{1}{r^{2}}.
Integramos essa equação entre um raio arbitrário r e uma referência. Integrando de r_{1} até r (com T(r_{1})=T_{s,1}):
\int_{T_{s,1}}^{T(r)} dT = -\frac{q_r}{4\pi k}\int_{r_{1}}^{r} \frac{1}{\rho^{2}}\,d\rho.
A integral do lado direito é simples: \int \rho^{-2}d\rho = -\rho^{-1}. Assim:
T(r)-T_{s,1} = -\frac{q_r}{4\pi k}\left[-\frac{1}{r} + \frac{1}{r_{1}}\right]
ou seja
T(r) = T_{s,1} + \frac{q_r}{4\pi k}\left(\frac{1}{r}-\frac{1}{r_{1}}\right).
Esta é a solução geral (contém a constante q_r/(4\pi k) que será determinada pelas condições de contorno nas duas superfícies).

Passo 4

Impor as condições de contorno para eliminar a constante e escrever T(r) em função apenas de T_{s,1} e T_{s,2}.
Aplicando a condição em r=r_{2}, T(r_{2})=T_{s,2}, temos:
T_{s,2} = T_{s,1} + \frac{q_r}{4\pi k}\left(\frac{1}{r_{2}}-\frac{1}{r_{1}}\right).
Isolando \dfrac{q_r}{4\pi k}:
\frac{q_r}{4\pi k} = \frac{T_{s,2}-T_{s,1}}{\dfrac{1}{r_{2}}-\dfrac{1}{r_{1}}} = \frac{T_{s,1}-T_{s,2}}{\dfrac{1}{r_{1}}-\dfrac{1}{r_{2}}}.
Substituindo de volta na expressão de T(r):
T(r)=T_{s,1} + \left(\frac{T_{s,1}-T_{s,2}}{\dfrac{1}{r_{1}}-\dfrac{1}{r_{2}}}\right)\left(\frac{1}{r}-\frac{1}{r_{1}}\right).
Reorganizando em forma simétrica (útil para cálculo e verificação das fronteiras):
T(r)=\frac{T_{s,1}\!\left(\dfrac{1}{r}-\dfrac{1}{r_{2}}\right)+T_{s,2}\!\left(\dfrac{1}{r_{1}}-\dfrac{1}{r}\right)}{\dfrac{1}{r_{1}}-\dfrac{1}{r_{2}}}.
Verificação rápida: para r=r_{1} a fórmula dá T_{s,1} e para r=r_{2} T_{s,2} — ótimo.

Passo 5

Aplicar a fórmula aos números do enunciado com contas explicadas passo a passo.
Primeiro, recapitular raios:
r_{1}=0,05\\ \mathrm{m},\qquad r_{2}=0,10\\ \mathrm{m},\qquad r_{\mathrm{m}}=0,075\\ \mathrm{m}.
Calcular os recíprocos (valores simples):
\frac{1}{r_{1}}=\frac{1}{0,05}=20\\ \mathrm{m^{-1}}, \qquad \frac{1}{r_{2}}=\frac{1}{0,10}=10\\ \mathrm{m^{-1}}, \qquad \frac{1}{r_{\mathrm{m}}}=\frac{1}{0,075}=13{,}333\ldots\\ \mathrm{m^{-1}}.
Diferenças necessárias:
\frac{1}{r_{1}}-\frac{1}{r_{2}}=20-10=10\\ \mathrm{m^{-1}}.
\frac{1}{r_{\mathrm{m}}}-\frac{1}{r_{2}}=13{,}333\ldots-10=\frac{10}{3}=3{,}333\ldots
\frac{1}{r_{1}}-\frac{1}{r_{\mathrm{m}}}=20-13{,}333\ldots=\frac{20}{3}=6{,}666\ldots
Agora aplicar a forma simétrica:
T(r_{\mathrm{m}})=\frac{T_{s,1}\!\left(\dfrac{1}{r_{\mathrm{m}}}-\dfrac{1}{r_{2}}\right)+T_{s,2}\!\left(\dfrac{1}{r_{1}}-\dfrac{1}{r_{\mathrm{m}}}\right)}{\dfrac{1}{r_{1}}-\dfrac{1}{r_{2}}}.
Substituindo números ( T_{s,1}=100^\circ\mathrm{C}, T_{s,2}=45^\circ\mathrm{C}):
T(r_{\mathrm{m}})=\frac{100\cdot\left(\dfrac{10}{3}\right)+45\cdot\left(\dfrac{20}{3}\right)}{10}.
Calcular numerador passo a passo:
100\cdot\frac{10}{3}=\frac{1000}{3}=333{,}333\ldots
45\cdot\frac{20}{3}=\frac{900}{3}=300.
Soma do numerador: 333{,}333\ldots+300=633{,}333\ldots.
Dividindo pelo denominador 10:
T(r_{\mathrm{m}})=\frac{633{,}333\ldots}{10}=63{,}333\ldots^\circ\mathrm{C}.
Arredondando de forma usual (duas casas decimais): T(r_{\mathrm{m}})\approx63{,}33^\circ\mathrm{C}.

Passo 6

Interpretação curta e incentivo.
Resultado faz sentido: a temperatura no meio da espessura fica entre 100^\circ\mathrm{C} (interno) e 45^\circ\mathrm{C} (externo); como a resistência térmica varia com 1/r na esfera, o ponto médio em r não corresponde a média aritmética das temperaturas, e por isso o valor 63{,}33^\circ\mathrm{C} não é simplesmente (100+45)/2. Mandou bem por pedir o passo a passo — agora você consegue aplicar essa derivação para qualquer casca esférica.

Resposta

T(r_{\mathrm{m}})=63{,}33^\circ\mathrm{C}

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