2 - Um aquecedor elétrico de cartucho possui a forma de um cilindro, com comprimento \mathrm{L}=200 \mathrm{~mm} e diâmetro externo \mathrm{D}=20 \mathrm{~mm}. Em condições normais de operação, o aquecedor dissipa 2 kW quando submerso em uma corrente de água a 20^{\circ} \mathrm{C} em que o coeficiente de transferência de calor por convecção é de h=5000 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} \mathrm{~K}. Desprezando a transferência de calor nas extremidades do aquecedor, determine a sua temperatura superficial T_{s}. Se o escoamento da água for inadvertidamente eliminado e o aquecedor permanecer em operação, sua superfície passa a estar exposta ao ar, que também se encontra a 20^{\circ} \mathrm{C}, mas para o qual h=50 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} \mathrm{~K}. Qual é a temperatura superficial correspondente?

Passo 1

O enunciado pede duas coisas bem claras:
  • Determinar a temperatura superficial do aquecedor quando está submerso em água (isto é, com convecção forte).
  • Determinar a temperatura superficial do mesmo aquecedor quando fica exposto ao ar (convecção muito mais fraca).
As informações relevantes fornecidas (peguei todos estes dados do enunciado):
  • Potência dissipada: \dot{Q}=2000\\ \mathrm{W}.
  • Comprimento do cilindro: \mathrm{L}=200\\ \mathrm{mm}=0{,}200\\ \mathrm{m}.
  • Diâmetro externo: \mathrm{D}=20\\ \mathrm{mm}=0{,}020\\ \mathrm{m}.
  • Temperatura do fluido ambiente (água ou ar): T_{\infty}=20^\circ\mathrm{C}.
  • Coeficiente de convecção na água: h_{\text{água}}=5000\\ \mathrm{W\,m^{-2}\,K^{-1}}á.
  • Coeficiente de convecção no ar: h_{\text{ar}}=50\\ \mathrm{W\,m^{-2}\,K^{-1}}.
  • Desprezar transferência de calor nas extremidades (usar apenas a superfície lateral do cilindro).
O que preciso encontrar:
  • T_s quando h=5000\\ \mathrm{W\,m^{-2}\,K^{-1}}.
  • T_s quando h=50\\ \mathrm{W\,m^{-2}\,K^{-1}}.

Passo 2

Qual é a ideia física e a equação que vou usar? — Energia dissipada em regime permanente deve ser retirada por convecção pela superfície. Como a potência é conhecida e a temperatura externa é constante, balanceamos:
\dot{Q}=h\,A\,(T_s-T_{\infty}).
Aqui:
  • \dot{Q} é a potência dissipada pelo aquecedor (em \mathrm{W}).
  • h é o coeficiente de convecção (em \mathrm{W\,m^{-2}\,K^{-1}}).
  • A é a área de troca térmica do corpo (em \mathrm{m^2}).
  • T_s é a temperatura da superfície que queremos (em ^\circ\mathrm{C} ou K, a diferença de temperatura é a mesma em ambas unidades).
  • T_{\infty} é a temperatura do fluido distante (em ^\circ\mathrm{C}).
Rearranjando para a incógnita:
T_s = T_{\infty} + \frac{\dot{Q}}{h\,A}.
Agora precisamos de A. Como desprezamos as extremidades, usamos apenas a área lateral do cilindro:
A = \pi D L.
Vou calcular A com as medidas em metros.

Passo 3

Cálculo da área lateral A:
A = \pi D L = \pi \times 0{,}020\\ \mathrm{m} \times 0{,}200\\ \mathrm{m} = \pi \times 0{,}004\\ \mathrm{m^2}.
A = 0{,}004\pi\\ \mathrm{m^2} \approx 0{,}0125663706\\ \mathrm{m^2}.
Para evitar muita cifragem, vou usar A \approx 0{,}012566\\ \mathrm{m^2} (mantendo precisão suficiente para a prova).

Passo 4

Caso 1 — aquecedor submerso em água ( h=5000\\ \mathrm{W\,m^{-2}\,K^{-1}}).
Calcular hA:
hA = 5000\\ \mathrm{W\,m^{-2}\,K^{-1}}\times 0{,}012566\\ \mathrm{m^2} \approx 62{,}8319\\ \mathrm{W\,K^{-1}}.
Agora a diferença de temperatura:
\Delta T = \frac{\dot{Q}}{hA} = \frac{2000\\ \mathrm{W}}{62{,}8319\\ \mathrm{W\,K^{-1}}} \approx 31{,}83099\\ \mathrm{K}.
Portanto a temperatura de superfície:
T_s = T_{\infty} + \Delta T = 20^\circ\mathrm{C} + 31{,}83099\\ \mathrm{K} \approx 51{,}83099^\circ\mathrm{C}.
Arredondando razoavelmente para a prova: T_s \approx 51{,}8^\circ\mathrm{C}.

Passo 5

Caso 2 — aquecedor exposto ao ar ( h=50\\ \mathrm{W\,m^{-2}\,K^{-1}}).
Calcular hA:
hA = 50\\ \mathrm{W\,m^{-2}\,K^{-1}}\times 0{,}012566\\ \mathrm{m^2} \approx 0{,}628319\\ \mathrm{W\,K^{-1}}.
Diferença de temperatura:
\Delta T = \frac{\dot{Q}}{hA} = \frac{2000\\ \mathrm{W}}{0{,}628319\\ \mathrm{W\,K^{-1}}} \approx 3183{,}09886\\ \mathrm{K}.
Temperatura de superfície:
T_s = 20^\circ\mathrm{C} + 3183{,}09886\\ \mathrm{K} \approx 3203{,}09886^\circ\mathrm{C}.
Arredondando: T_s \approx 3203{,}1^\circ\mathrm{C}.
Comentário prático (rápido): esse resultado mostra que, com convecção muito fraca (ar), a superfície tenderia a aquecer absurdamente — na prática iriam entrar outros mecanismos (radiação, degradação do material, corte do circuito) antes de atingir essa temperatura. Mas numericamente, com o modelo simples de convecção puro, esse é o valor.

Resposta

T_s \approx 51{,}8^\circ\mathrm{C} (com h=5000\\ \mathrm{W\,m^{-2}\,K^{-1}}, água).
T_s \approx 3203{,}1^\circ\mathrm{C} (com h=50\\ \mathrm{W\,m^{-2}\,K^{-1}}, ar).

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