14 - Um circuito integrado (chip) quadrado de silício ( k=150 \mathrm{~W} / \mathrm{mK} ) possui lados com w=5 \mathrm{~mm} e espessura t=1 \mathrm{~mm}. O circuito é montado em um substrato de tal forma que suas superfícies laterais e inferior estão isoladas termicamente, enquanto a superfície superior encontra-se exposta a um refrigerante. Se 4 W estão sendo dissipados nos circuitos montados na superfície inferior do chip, qual é a diferença entre as temperaturas das superficies inferior e superior no estado estacionário?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede a quantidade especificada:
  • Condições geométricas e propriedades (peguei estes números do enunciado):
    • condutividade térmica: k=150~\mathrm{W/(m\cdot K)}
    • lado do chip: w=5~\mathrm{mm}=0,005~\mathrm{m}
    • espessura (distância entre superfícies inferior e superior): t=1~\mathrm{mm}=0,001~\mathrm{m}
  • Condições de contorno:
    • superfícies laterais e inferior isoladas termicamente;
    • superfície superior exposta a um refrigerante (logo todo o calor sai por aí).
  • Potência dissipada:
    • Q=4~\mathrm{W} sendo dissipada na superfície inferior do chip.
  • O que se pede:
    • a diferença de temperatura entre a superfície inferior e a superfície superior no estado estacionário, isto é, \Delta T = T_{\text{inferior}}-T_{\text{superior}}.

Passo 2

Raciocínio físico e fórmula que vamos usar (aula rápida e direta):
  • Como as faces laterais e a face inferior estão isoladas, o calor gerado só pode atravessar o chip na direção vertical, da face inferior para a face superior. Isso torna o problema de condução essencialmente unidimensional (apenas através da espessura t).
  • Para condução estacionária e material homogêneo com propriedades constantes, a Lei de Fourier em uma dimensão dá (em módulo): Q = k\,A\,\frac{\Delta T}{L},onde:
    • Q é a taxa de transferência de calor (potência) em \mathrm{W};
    • k é a condutividade térmica do material em \mathrm{W/(m\cdot K)};
    • A é a área através da qual o calor flui em \mathrm{m^2};
    • L é a distância de condução (a espessura) em \mathrm{m};
    • \Delta T é a diferença de temperatura entre as faces (em \mathrm{K} ou ^\circ\mathrm{C}).
  • Vamos isolar \Delta T: \Delta T = \frac{Q\,L}{k\,A}.Observação: a unidade de \Delta T será \mathrm{K} (Kelvin), que numericamente coincide com ^\circ\mathrm{C} para diferenças de temperatura.

Passo 3

Calcular a área da face superior pela qual o calor sai:
  • A face é um quadrado de lado w, então A = w^{2}.
  • Substituindo w=0,005~\mathrm{m}: A = (0,005~\mathrm{m})^{2} = 0,000025~\mathrm{m^{2}} = 2,5\times10^{-5}~\mathrm{m^{2}}.

Passo 4

Aplicar a fórmula para obter \Delta T e fazer as contas passo a passo:
  • A fórmula rearranjada é \Delta T = \frac{Q\,L}{k\,A}.
  • Substituir os valores numéricos (todos em unidades SI): Q = 4~\mathrm{W},\quad L=t=0,001~\mathrm{m},\quad k=150~\mathrm{W/(m\cdot K)},\quad A=2,5\times10^{-5}~\mathrm{m^{2}}.
  • Calcular o denominador kA: kA = 150 \times 2,5\times10^{-5} = 3,75\times10^{-3}~\mathrm{W/K}.
  • Calcular o numerador Q\,L: QL = 4 \times 0,001 = 0,004~\mathrm{W\cdot m}.
  • Dividindo: \Delta T = \frac{0,004}{3,75\times10^{-3}} \approx 1,066666\ldots~\mathrm{K}.
  • Arredondando de forma prática para a prova: \Delta T \approx 1,07~\mathrm{K}.(Diferença de temperatura da face inferior para a superior; lembre-se que uma diferença de 1{,}07~\mathrm{K} equivale a 1{,}07{^\circ}\mathrm{C}.)

Resposta

\Delta T \approx 1,07~\mathrm{K}

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