10- Considere uma partícula de massa m em um potencial unidimensional V(x)=-\lambda \delta(x), \lambda>0. Nesse caso existe um estado ligado, o estado fundamental, de energia E_{0}=-m \lambda^{2} /\left(2 \hbar^{2}\right). A partícula é carregada, de carga elétrica q, e interagem com um campo elétrico oscilante de frequência \omega. A perturbação correspondente é
onde \mathcal{E} é uma constante. Se a partícula está inicialmente no estado fundamental, assumindo \hbar \omega>-E_{0}, determinar a transição de probabilidade por unidade de tempo, w, para qualquer estado de energia positiva. Dica: Pode ser usado a regra de ouro de Fermi ou, calcular em primeiro lugar a probabilidade de permanência no mesmo estado inicial e posteriormente usar alguma idêntidade sobre probabilidades.
temos uma partícula de massa m no potencial unidimensional V(x)=-\lambda\delta(x) com \lambda>0. Há um único estado ligado (fundamental) de energia
E_{0}=-\frac{m\lambda^{2}}{2\hbar^{2}}.
A partícula está inicialmente no estado ligado. Assumindo \hbar\omega>-E_{0} (logo existe um estado de energia positiva acessível por absorção), o que se pede:
Determinar a taxa de transição por unidade de tempo, w, do estado ligado para qualquer estado de energia positiva (isto é, a taxa de transição para os estados do contínuo que satisfazem a conservação de energia com a absorção de um quantum \hbar\omega).
Informações relevantes listadas:
Energia inicial: E_{i}=E_{0}<0.
Energia final pedida: E_{f}>0 com E_{f}=E_{0}+\hbar\omega (absorção).
Potencial delta em x=0 (consequência: o estado ligado é par).
Perturbação é proporcional a \hat{x} (operador ímpar), então a seleção por paridade será importante.
Podemos usar a regra de ouro de Fermi (ou calcular sobrevivência); usarei a regra de ouro.
Passo 2
Escrevo o estado ligado e sua constante relevante. O estado ligado do delta atrativo é bem conhecido:
\psi_{0}(x)=\sqrt{\kappa}\,e^{-\kappa|x|},
com
\kappa=\frac{m\lambda}{\hbar^{2}}.
Verificação rápida (aula rápida): a energia deste estado é
coincidindo com o enunciado. A normalização foi escolhida tal que \int_{-\infty}^{\infty}|\psi_{0}(x)|^{2}\,dx=1.
Passo 3
Identifico os estados do contínuo (energia positiva). Para o potencial -\lambda\delta(x) existem estados de paridade bem definidos. O estado ligado é função par (even). O operador \hat{x} é ímpar (odd), logo só conecta estados de paridade oposta: portanto, só os estados ímpares do contínuo contribuem para a transição. Observação útil: os estados ímpares do contínuo não “sentem” o delta em x=0 (pois eles anulam em x=0), logo são iguais aos estados ímpares livres.
Uma base conveniente para os estados ímpares do contínuo (energia E=\hbar^{2}k^{2}/2m>0, k>0) é
\phi_{k}(x)=\frac{1}{\sqrt{\pi}}\sin(kx),
que satisfaz a normalização de delta em k:
\langle \phi_{k}|\phi_{k'}\rangle=\delta(k-k').
(Aqui escolhemos a normalização em k, o que é prático para aplicar a regra de ouro; a densidade de estados por energia aparece depois como dk/dE.)
Passo 4
Calculo o elemento de matriz de dipolo entre o ligado e um estado do contínuo que contribui:
a taxa de transição por unidade de tempo, de um estado inicial |i\rangle para estados contínuos finais |f\rangle com energia E_{f}=E_{i}+\hbar\omega (absorção), é
O fator 1/2 vem da decomposição em exponenciais; o fator i some ao calcular o módulo.
Passo 7
Transito para densidade de estados em energia. Trabalhando com estados rotulados por k (normalizados por \delta(k-k')), a densidade de estados por energia é
válido porque assumimos \hbar\omega>-E_{0} (assim o argumento da raiz é positivo). Substituindo este k na expressão de w obtemos a taxa de transição por unidade de tempo para o estado do contínuo cuja energia satisfaz a conservação de energia.