Em t=0, é conhecido que o sistema se encontra no estado fundamental. (a) Resolvendo de forma exata as equações acopladas para os coeficientes de expansão, dependentes dos tempo, determinar as probabilidades de encontrar o sistema no estado fundamental e no primeiro estado excitado. (b) Repetir o cálculo em (a) usando teoria de perturbações dependente do tempo, em primeira ordem. Compare com os resultados em (a) para valores pequenos de \gamma. Tratar separadamente os casos \omega muito diferente de \omega_{12} e \omega \approx w_{12}.
Passo 1
O enunciado dá um sistema de dois níveis com energias E_{1}<E_{2} e um potencial dependente do tempo com elementos:
É conhecido em t=0 que o sistema está no estado fundamental (ou seja, o coeficiente associado ao nível 1 vale 1 e ao nível 2 vale 0 em t=0). O que se pede:
(a) Resolver exatamente as equações acopladas para os coeficientes de expansão dependentes do tempo e determinar as probabilidades de encontrar o sistema no estado fundamental e no estado excitado (primeiro excitado) em tempo t.
(b) Repetir o cálculo usando a teoria de perturbações dependente do tempo em primeira ordem, comparar com o resultado exato para \gamma pequeno e tratar separadamente os casos \omega muito diferente de \omega_{12} e \omega\approx\omega_{12}.
Escrever as equações de Schrödinger para os coeficientes c_{1}(t),c_{2}(t) na base dos autovalores de H_{0}. A equação de Schrödinger independente de normalização é
Para simplificar removemos as fases triviais e^{-iE_{n}t/\hbar} definindo c_{n}(t)=b_{n}(t)e^{-iE_{n}t/\hbar}. Isso é útil porque isola a oscilação causada pela perturbação.
Passo 3
Substituindo c_{n}=b_{n}e^{-iE_{n}t/\hbar} nas equações e cancelando termos, obtemos as equações acopladas simples para b_{n}:
Construir a solução geral de b_{1} e aplicar as condições iniciais. A solução geral é combinação linear das duas exponenciais; escrevemos de forma conveniente:
Essa forma já incorpora as constantes determinadas pelas condições b_{1}(0)=1 e \dot{b}_{1}(0)=0 (esta última decorre de b_{2}(0)=0 via a equação de primeira ordem).
Passo 6
Determinar b_{2}(t) a partir de b_{1}(t) usando a relação de acoplamento de primeira ordem. Da equação i\hbar\dot{b}_{1}=\gamma e^{i\Delta t}b_{2} isolamos
Calculando \dot{b}_{1}(t) da expressão do passo anterior e simplificando (mostro a identidade chave: após simplificação surge um termo proporcional a \sin(\alpha t/2)), obtemos
que coincide com a expressão perturbativa de primeira ordem. Portanto para \gamma pequeno e |\Delta| não pequeno a teoria de primeira ordem funciona bem e dá a mesma resposta.
Próximo à ressonância (\Delta\approx 0): a expressão perturbativa tem denominador pequeno e se toma o limite \Delta\to0 obtemos
ou seja, para tempos curtos t ambas coincidem (expansão de pequena t da seno). Porém para tempos maiores a primeira ordem falha drasticamente: a solução exata mostra oscilações completas e saturação em 1, enquanto a aproximação de primeira ordem cresce indefinidamente como t^{2} (até violar a normalização), sinal de que perturbation theory de primeira ordem não é válida próximo à ressonância para tempos que não sejam pequenos. Em resumo: perturbation theory de primeira ordem é válida quando \gamma/\hbar\ll|\Delta| e/ou quando \gamma t/\hbar\ll1; falha na ressonância para tempos longos.
(b) P_{1\to 2}^{(1)}(t)=\dfrac{4\gamma^{2}}{\hbar^{2}\Delta^{2}}\sin^{2}\!\left(\dfrac{\Delta t}{2}\right).
Para |\Delta| grande (fora da ressonância) a expressão perturbativa coincide com a expansão da solução exata (válida para \gamma pequeno). Para \Delta\approx0 (ressonância) a perturbativa de primeira ordem só é correta para tempos muito curtos (P\approx(\gamma t/\hbar)^{2}); para tempos maiores a solução exata mostra oscilações de Rabi completas P_{1\to 2}(t)=\sin^{2}(\gamma t/\hbar).