8- Considere um sistema de dois níveis com E_{1}<E_{2}. Há um potencial dependente do tempo, \hat{W}(t) que conecta os dois níveis, conforme
W_{11}=W_{22}=0, \quad W_{12}=\gamma e^{i \omega t}, \quad W_{21}=\gamma e^{-\omega t}
Em t=0, é conhecido que o sistema se encontra no estado fundamental. (a) Resolvendo de forma exata as equações acopladas para os coeficientes de expansão, dependentes dos tempo, determinar as probabilidades de encontrar o sistema no estado fundamental e no primeiro estado excitado. (b) Repetir o cálculo em (a) usando teoria de perturbações dependente do tempo, em primeira ordem. Compare com os resultados em (a) para valores pequenos de \gamma. Tratar separadamente os casos \omega muito diferente de \omega_{12} e \omega \approx w_{12}.

Passo 1

O enunciado dá um sistema de dois níveis com energias E_{1}<E_{2} e um potencial dependente do tempo com elementos:
W_{11}=W_{22}=0,\qquad W_{12}=\gamma e^{i\omega t},\qquad W_{21}=\gamma e^{-i\omega t}.
É conhecido em t=0 que o sistema está no estado fundamental (ou seja, o coeficiente associado ao nível 1 vale 1 e ao nível 2 vale 0 em t=0). O que se pede:
(a) Resolver exatamente as equações acopladas para os coeficientes de expansão dependentes do tempo e determinar as probabilidades de encontrar o sistema no estado fundamental e no estado excitado (primeiro excitado) em tempo t.
(b) Repetir o cálculo usando a teoria de perturbações dependente do tempo em primeira ordem, comparar com o resultado exato para \gamma pequeno e tratar separadamente os casos \omega muito diferente de \omega_{12} e \omega\approx\omega_{12}.
Dados importantes que vou usar explicitamente:
\omega_{12}=\frac{E_{2}-E_{1}}{\hbar},\qquad \Delta=\omega-\omega_{12}.

Passo 2

Escrever as equações de Schrödinger para os coeficientes c_{1}(t),c_{2}(t) na base dos autovalores de H_{0}. A equação de Schrödinger independente de normalização é
i\hbar\frac{d}{dt}c_{n}(t)=\sum_{m}H_{nm}(t)c_{m}(t).
Aqui H_{11}=E_{1}, H_{22}=E_{2}, H_{12}=W_{12}=\gamma e^{i\omega t}, H_{21}=W_{21}=\gamma e^{-i\omega t}. Logo:
i\hbar\dot{c}_{1}=E_{1}c_{1}+\gamma e^{i\omega t}c_{2},
i\hbar\dot{c}_{2}=E_{2}c_{2}+\gamma e^{-i\omega t}c_{1}.
Para simplificar removemos as fases triviais e^{-iE_{n}t/\hbar} definindo c_{n}(t)=b_{n}(t)e^{-iE_{n}t/\hbar}. Isso é útil porque isola a oscilação causada pela perturbação.

Passo 3

Substituindo c_{n}=b_{n}e^{-iE_{n}t/\hbar} nas equações e cancelando termos, obtemos as equações acopladas simples para b_{n}:
i\hbar\dot{b}_{1}=\gamma e^{i(\omega-\omega_{12})t}b_{2}=\gamma e^{i\Delta t}b_{2},
i\hbar\dot{b}_{2}=\gamma e^{-i\Delta t}b_{1}.
Estas são as equações que vamos resolver exatamente. As condições iniciais, dado que c_{1}(0)=1,c_{2}(0)=0, implicam b_{1}(0)=1,b_{2}(0)=0.

Passo 4

Desacoplar as equações para obter uma equação de segunda ordem para b_{1}. Diferenciando a primeira equação:
i\hbar\ddot{b}_{1}=\gamma i\Delta e^{i\Delta t}b_{2}+\gamma e^{i\Delta t}\dot{b}_{2}.
Usamos a segunda equação para substituir \dot{b}_{2}: \dot{b}_{2}=-(i/\hbar)\gamma e^{-i\Delta t}b_{1}. Substituindo e simplificando obtemos
\ddot{b}_{1}=i\Delta\dot{b}_{1}-\frac{\gamma^{2}}{\hbar^{2}}b_{1}.
Procuramos soluções exponenciais b_{1}(t)=e^{\lambda t}. O polinômio característico é
\lambda^{2}-i\Delta\lambda+\frac{\gamma^{2}}{\hbar^{2}}=0.
As raízes são
\lambda=\frac{i\Delta\pm i\sqrt{\Delta^{2}+\frac{4\gamma^{2}}{\hbar^{2}}}}{2}=i\frac{\Delta\pm\alpha}{2},
onde definimos a abreviação
\alpha=\sqrt{\Delta^{2}+\frac{4\gamma^{2}}{\hbar^{2}}}.

Passo 5

Construir a solução geral de b_{1} e aplicar as condições iniciais. A solução geral é combinação linear das duas exponenciais; escrevemos de forma conveniente:
b_{1}(t)=e^{i\frac{\Delta t}{2}}\left[\cos\!\left(\frac{\alpha t}{2}\right)-i\frac{\Delta}{\alpha}\sin\!\left(\frac{\alpha t}{2}\right)\right].
Essa forma já incorpora as constantes determinadas pelas condições b_{1}(0)=1 e \dot{b}_{1}(0)=0 (esta última decorre de b_{2}(0)=0 via a equação de primeira ordem).

Passo 6

Determinar b_{2}(t) a partir de b_{1}(t) usando a relação de acoplamento de primeira ordem. Da equação i\hbar\dot{b}_{1}=\gamma e^{i\Delta t}b_{2} isolamos
b_{2}(t)=\frac{i\hbar}{\gamma}e^{-i\Delta t}\dot{b}_{1}(t).
Calculando \dot{b}_{1}(t) da expressão do passo anterior e simplificando (mostro a identidade chave: após simplificação surge um termo proporcional a \sin(\alpha t/2)), obtemos
b_{2}(t)=-i\frac{2\gamma}{\hbar\alpha}\,e^{-i\frac{\Delta t}{2}}\sin\!\left(\frac{\alpha t}{2}\right).
Verifique que para t=0 obtemos b_{2}(0)=0 corretamente.

Passo 7

Determinar as probabilidades. As probabilidades não dependem das fases triviais removidas, portanto
P_{1\to 2}(t)=|c_{2}(t)|^{2}=|b_{2}(t)|^{2}=\frac{4\gamma^{2}/\hbar^{2}}{\alpha^{2}}\sin^{2}\!\left(\frac{\alpha t}{2}\right),
e a probabilidade de permanecer no estado fundamental é
P_{1\to 1}(t)=|c_{1}(t)|^{2}=|b_{1}(t)|^{2}=1-P_{1\to 2}(t).
Caso ressonante \Delta=0 (ou seja \omega=\omega_{12}) temos \alpha=2\gamma/\hbar e então
P_{1\to 2}(t)=\sin^{2}\!\left(\frac{\gamma t}{\hbar}\right),
mostrando oscilações completas (Rabi oscillation) com amplitude máxima 1.

Passo 8

Agora faço a teoria de perturbações dependente do tempo em primeira ordem (método padrão). A amplitude de transição no primeiro ordem é
c_{2}^{(1)}(t)=\frac{1}{i\hbar}\int_{0}^{t}dt'\,W_{21}(t')e^{i\omega_{12}t'}.
Substituindo W_{21}(t')=\gamma e^{-i\omega t'} obtemos com \Delta=\omega-\omega_{12}:
c_{2}^{(1)}(t)=\frac{\gamma}{i\hbar}\int_{0}^{t}dt'\,e^{-i\Delta t'}=\frac{\gamma}{\hbar\Delta}\left(e^{-i\Delta t}-1\right).
A probabilidade de transição na primeira ordem é então
P_{1\to 2}^{(1)}(t)=\left|c_{2}^{(1)}(t)\right|^{2}=\frac{4\gamma^{2}}{\hbar^{2}\Delta^{2}}\sin^{2}\!\left(\frac{\Delta t}{2}\right).

Passo 9

Comparação perturbativa vs. exata para \gamma pequeno.
  • Fora de ressonância ( |\Delta| grande comparado a 2\gamma/\hbar): na expressão exata \alpha\approx|\Delta| e
P_{1\to 2}^{\text{exata}}(t)\approx\frac{4\gamma^{2}}{\hbar^{2}\Delta^{2}}\sin^{2}\!\left(\frac{\Delta t}{2}\right),
que coincide com a expressão perturbativa de primeira ordem. Portanto para \gamma pequeno e |\Delta| não pequeno a teoria de primeira ordem funciona bem e dá a mesma resposta.
  • Próximo à ressonância ( \Delta\approx 0): a expressão perturbativa tem denominador pequeno e se toma o limite \Delta\to0 obtemos
c_{2}^{(1)}(t)\xrightarrow{\Delta\to0}-i\frac{\gamma t}{\hbar},\qquad P_{1\to 2}^{(1)}(t)\xrightarrow{\Delta\to0}\frac{\gamma^{2}t^{2}}{\hbar^{2}}.
A expressão exata na ressonância dá
P_{1\to 2}^{\text{exata}}(t)=\sin^{2}\!\left(\frac{\gamma t}{\hbar}\right)\xrightarrow{t\\ \text{pequeno}}\frac{\gamma^{2}t^{2}}{\hbar^{2}},
ou seja, para tempos curtos t ambas coincidem (expansão de pequena t da seno). Porém para tempos maiores a primeira ordem falha drasticamente: a solução exata mostra oscilações completas e saturação em 1, enquanto a aproximação de primeira ordem cresce indefinidamente como t^{2} (até violar a normalização), sinal de que perturbation theory de primeira ordem não é válida próximo à ressonância para tempos que não sejam pequenos. Em resumo: perturbation theory de primeira ordem é válida quando \gamma/\hbar\ll|\Delta| e/ou quando \gamma t/\hbar\ll1; falha na ressonância para tempos longos.

Resposta

(a) P_{1\to 2}(t)=\dfrac{4\gamma^{2}/\hbar^{2}}{\Delta^{2}+\dfrac{4\gamma^{2}}{\hbar^{2}}}\,\sin^{2}\!\left(\dfrac{t}{2}\sqrt{\Delta^{2}+\dfrac{4\gamma^{2}}{\hbar^{2}}}\right),\quad P_{1\to 1}(t)=1-P_{1\to 2}(t).
(b) P_{1\to 2}^{(1)}(t)=\dfrac{4\gamma^{2}}{\hbar^{2}\Delta^{2}}\sin^{2}\!\left(\dfrac{\Delta t}{2}\right).
Para |\Delta| grande (fora da ressonância) a expressão perturbativa coincide com a expansão da solução exata (válida para \gamma pequeno). Para \Delta\approx0 (ressonância) a perturbativa de primeira ordem só é correta para tempos muito curtos ( P\approx(\gamma t/\hbar)^{2}); para tempos maiores a solução exata mostra oscilações de Rabi completas P_{1\to 2}(t)=\sin^{2}(\gamma t/\hbar).

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