9- Um elétron está submetido a um campo magnético dado por
\mathbf{B}=B_{0} \mathbf{k}+B_{1} \cos (\omega t) \mathbf{i}
onde B_{0} e B_{1} são constantes e uniformes, com B_{0} \gg B_{1} e \omega próximo à frequência de Larmos associada a B_{0}. Inicialmente, em t=0, o spin do elétron aponta na direção \mathbf{k}. Calcule a probabilidade e encontrar o spin do elétron na direção -\mathbf{k} em um instante t.

Passo 1

O enunciado dá um elétron sujeito a um campo magnético dependente do tempo
\mathbf{B}(t)=B_{0}\,\mathbf{k}+B_{1}\cos(\omega t)\,\mathbf{i},
com B_{0} e B_{1} constantes, B_{0}\gg B_{1} e \omega próximo da frequência de Larmor associada a B_{0}. Em t=0 o spin está apontando em \mathbf{k} (ou seja, estado “spin-up” ao longo de z). A pergunta é: qual a probabilidade de, em tempo t, encontrar o spin apontando em -\mathbf{k} (estado “spin-down” ao longo de z)?
Informações relevantes dadas:
\mathbf{B}(t)=B_{0}\mathbf{k}+B_{1}\cos(\omega t)\mathbf{i},\quad B_{0}\gg B_{1},\quad \omega\approx\text{frequência de Larmor associada a }B_{0},ê
condição inicial: estado em t=0 é |\uparrow_z\rangle (spin apontando em \mathbf{k}). Objetivo: calcular P_{\uparrow_z\to\downarrow_z}(t).

Passo 2

Escrevendo o Hamiltoniano do spin num campo magnético: a energia magnética é H=-\boldsymbol{\mu}\cdot\mathbf{B}. Para o spin do elétron usamos \boldsymbol{\mu}=\gamma\mathbf{S}, onde \gamma é a razão giromagnética (módulo) e \mathbf{S}=(\hbar/2)\boldsymbol{\sigma} com \boldsymbol{\sigma}=(\sigma_x,\sigma_y,\sigma_z) as matrizes de Pauli. Assim o Hamiltoniano vale
H(t)=-\gamma\mathbf{S}\cdot\mathbf{B}(t)=-\frac{\hbar\gamma}{2}\bigl(B_{0}\sigma_{z}+B_{1}\cos(\omega t)\sigma_{x}\bigr).
Aqui definimos a frequência de Larmor associada a B_{0} por
\omega_{0}=\gamma B_{0}.
Observação sobre sinal: para o elétron \gamma é numericamente positivo se tomarmos \omega_0 como a magnitude da precessão (o elétron tem \gamma negativo na definição com carga, mas a probabilidade final depende de magnitudes e detunings; usaremos \omega_0=\gamma B_0 como a frequência de referência).

Passo 3

Para tratar a parte oscilante escrevemos \cos(\omega t)=\tfrac{1}{2}(e^{i\omega t}+e^{-i\omega t}). O termo transversal em \sigma_x se decompõe então em dois campos rotantes com amplitudes B_{1}/2. Quando \omega está perto de \omega_{0} e B_{1}\ll B_{0}, apenas um desses termos rotantes (o que gira no mesmo sentido que a precessão) está próximo da ressonância; o outro gira muito rápido e dá contribuição média nula. Esse argumento é o que chamamos de aproximação da onda rotante (rotating wave approximation, RWA). Pela RWA, podemos manter apenas o componente ressonante e desprezar o contra-rotante. O efeito prático é que a amplitude efetiva do campo transversal que acopla os dois níveis é (B_{1}/2).
Definimos a detunagem
\Delta=\omega_{0}-\omega
e a “frequência de Rabi” associada ao campo transversal efetivo
\Omega_{1}=\gamma\frac{B_{1}}{2}.
Após a transformação para o quadro que gira com frequência \omega (e aplicação da RWA) o Hamiltoniano efetivo tempo-independente fica (em unidades de \hbar)
H_{\text{eff}}=-\frac{\hbar}{2}\bigl(\Delta\,\sigma_{z}+\Omega_{1}\,\sigma_{x}\bigr).
Explicação curta do que significa cada termo: \Delta é o desvio entre a frequência natural de precessão e a frequência do campo oscilante; \Omega_{1} mede a força da couplagem entre os estados |\uparrow_z\rangle e |\downarrow_z\rangle causada pelo componente ressonante do campo transversal.

Passo 4

Agora resolvemos a evolução quântica com H_{\text{eff}}. É conveniente escrever H_{\text{eff}} na base \{|\uparrow_z\rangle,|\downarrow_z\rangle\}. Em matriz (dividida por -\hbar/2) temos
H_{\text{eff}}=-\frac{\hbar}{2} \begin{pmatrix} \Delta & \Omega_{1}\\[4pt] \Omega_{1} & -\Delta \end{pmatrix}.
As autovalores (energia efetiva dividida por \hbar) são \pm\frac{1}{2}\Omega, onde
\Omega=\sqrt{\Delta^{2}+\Omega_{1}^{2}}.
Fisicamente \Omega é a frequência de oscilação Rabi geral, que combina detunagem e amplitude do campo transversal.]

Passo 5

Para obter a probabilidade de transição partimos do estado inicial |\psi(0)\rangle=|\uparrow_z\rangle. A solução explícita da equação de Schrödinger com H_{\text{eff}} dá (resultado padrão do problema de duas vias):
  • a amplitude para encontrar o sistema em |\downarrow_z\rangle em tempo t tem módulo
\bigl|\,\langle\downarrow_z|\psi(t)\rangle\,\bigr|=\frac{\Omega_{1}}{\Omega}\,\bigl|\sin\bigl(\tfrac{\Omega t}{2}\bigr)\bigr|.
  • portanto a probabilidade de transição é
P_{\uparrow_z\to\downarrow_z}(t)=\left(\frac{\Omega_{1}}{\Omega}\right)^{2}\sin^{2}\!\Bigl(\frac{\Omega t}{2}\Bigr).
Substituindo \Omega_{1}=\gamma B_{1}/2 e \Omega=\sqrt{(\omega_{0}-\omega)^{2}+(\gamma B_{1}/2)^{2}} obtemos a forma completa em termos dos parâmetros do problema.

Passo 6

Interpretações úteis e caso de ressonância:
  • Em ressonância exata, \omega=\omega_{0} (ou seja, \Delta=0), a expressão simplifica para oscilações completas (Rabi flops):
P_{\uparrow_z\to\downarrow_z}(t)=\sin^{2}\!\Bigl(\frac{\Omega_{1} t}{2}\Bigr)=\sin^{2}\!\Bigl(\frac{\gamma B_{1}\,t}{4}\Bigr).
Note que aqui aparece \gamma B_{1}/2 em \Omega_{1}, então o argumento do seno fica \gamma B_{1}t/4.
  • Fora da ressonância, a amplitude máxima de transição é reduzida pelo fator (\Omega_{1}/\Omega)^{2} e as oscilações ocorrem na frequência \Omega.
Pequena observação motivadora: se você estiver com pressa na prova, memorize a forma padrão
P(t)=\frac{\Omega_{1}^{2}}{\Delta^{2}+\Omega_{1}^{2}}\sin^{2}\!\Bigl(\frac{\sqrt{\Delta^{2}+\Omega_{1}^{2}}\,t}{2}\Bigr),
com \Delta=\omega_{0}-\omega e \Omega_{1}=\gamma B_{1}/2. Isso resolve a grande maioria das questões de ressonância magnética de spin com campo transversal oscilante.

Resposta

P_{\uparrow_z\to\downarrow_z}(t)=\left(\frac{\gamma B_{1}/2}{\sqrt{(\omega_{0}-\omega)^{2}+(\gamma B_{1}/2)^{2}}}\right)^{2}\sin^{2}\!\left(\frac{t}{2}\sqrt{(\omega_{0}-\omega)^{2}+(\gamma B_{1}/2)^{2}}\right),
onde \omega_{0}=\gamma B_{0}.

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