Três partículas, cada uma de massa m, estão dispostas nos vértices de um triângulo equilátero de lado l. Calcule a energia potencial do sistema formado pelas três partículas…
Escolha uma opção:
◯ a. U=-\frac{G m^{2}}{l}
◯ b. U=-6 \frac{G m^{2}}{l}
◯ c. U=-2 \frac{G m^{2}}{l}
◯ d. U=-3 \frac{G m^{2}}{l}
◯ e. U=-2 \frac{G m^{2}}{l^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a energia potencial do sistema formado por três partículas idênticas. Informações dadas:
  • Três partículas, cada uma com massa m.
  • As partículas estão nos vértices de um triângulo equilátero de lado l.
  • Constante gravitacional G (assume-se a lei da gravitação newtoniana).
    A pergunta final é escolher, entre as opções dadas, a expressão correta para a energia potencial total do sistema.

Passo 2

Fórmula básica entre duas massas: a energia potencial gravitacional entre duas partículas puntiformes de massas m_1 e m_2, separadas por uma distância r, é dada por
U_{12} = -\frac{G m_1 m_2}{r}.
Explicação dos símbolos:
  • U_{12} é a energia potencial associada à interação entre as partículas 1 e 2.
  • G é a constante gravitacional.
  • m_1 e m_2 são as massas das duas partículas.
  • r é a distância entre as duas partículas.
    Por que o sinal negativo? Porque tomamos U=0 quando as partículas estão infinitamente separadas; como a gravidade é atrativa, trazer as massas de r=\infty até distância r diminui a energia potencial, ficando negativa.

Passo 3

Energia potencial total de um sistema de partículas: para um conjunto de partículas, a energia potencial gravitacional total é a soma das energias potenciais de todas as pares distintos. Em notação,
U_{\text{total}}=\sum_{i<j} -\frac{G m_i m_j}{r_{ij}},
onde a soma é sobre todos os pares i<j. Observação importante: contamos cada par apenas uma vez (por isso i<j), para não duplicar a energia.

Passo 4

Aplicando ao problema: todas as massas são iguais, m_i=m, e todas as distâncias entre pares de partículas valem l (triângulo equilátero). Número de pares distintos entre três partículas é
\binom{3}{2}=\frac{3!}{2!\,1!}=3.
Portanto cada par contribui com -\dfrac{G m^{2}}{l} e há três pares. Somando,
U_{\text{total}} = 3\left(-\frac{G m^{2}}{l}\right) = -\frac{3G m^{2}}{l}.

Passo 5

Conferindo com as alternativas fornecidas, a expressão corresponde à alternativa d.

Resposta

d. \displaystyle U=-3\frac{G m^{2}}{l}

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