10: Considere um sistema massa-mola não amortecido, com massa m>0\) e constante de mola \(\kappa>0\). O sistema é excitado por uma força periódica \(f(t)\) de período \(2 \pi\), definida em ( \(0,2 \pi\) ) por \[f(t)= \begin{cases}f_{0}, & 0<t<\pi \\\\ -f_{0}, & \pi<t<2 \pi\end{cases}
e estendida a \mathbb{R}\] - por periodicidade, de modo que \(f seja ímpar.
O movimento x(t) satisfaz a equação diferencial
m x^{\prime \prime}(t)+\kappa x(t)=f(t)
Determine uma solução particular x_{p}(t) admitindo a representação em série de senos
x_{p}(t)=\sum_{n=1}^{\infty} B_{n} \sin (n t)
e calcule os coeficientes B_{n}.

Passo 1

O enunciado dá o sistema massa-mola não amortecido
m x''(t) + \kappa\,x(t) = f(t)
onde f(t) é um sinal quadrado de período 2\pi, ímpar, valendo f_0 em (0,\pi) e -f_0 em (\pi,2\pi).
O objetivo é achar uma solução particular na forma de série de senos
x_p(t) = \sum_{n=1}^\infty B_n \sin(nt).
Vamos usar Fourier de séries para f(t) e, em seguida, igualar coeficientes na EDO.

Passo 2

Como f(t) é função ímpar de período 2\pi, só aparecem termos \sin(nt) em sua série de Fourier. Os coeficientes de seno são
F_n = \frac{2}{\pi}\int_{0}^{2\pi}f(t)\sin(nt)\,dt =\frac{2}{\pi}\Bigl(\int_{0}^{\pi}f_0\sin(nt)\,dt+\int_{\pi}^{2\pi}(-f_0)\sin(nt)\,dt\Bigr).

Passo 3

Como \sin\bigl(n(t+\pi)\bigr)=-\sin(nt), a segunda integral é igual à primeira com sinal trocado. Logo
F_n =\frac{2f_0}{\pi}\Bigl(\int_{0}^{\pi}\sin(nt)\,dt-\int_{0}^{\pi}\sin(nt)\,dt(-1)\Bigr) =\frac{4f_0}{\pi}\int_{0}^{\pi}\sin(nt)\,dt.
E sabemos
\int_{0}^{\pi}\sin(nt)\,dt =\Bigl[-\tfrac{1}{n}\cos(nt)\Bigr]_0^{\pi} =\frac{1-(-1)^n}{n}.
Portanto
F_n=\frac{4f_0}{\pi}\,\frac{1-(-1)^n}{n} =\begin{cases}\displaystyle\frac{4f_0}{\pi\,n},&n\\ \text{ímpar},\\[6pt] 0,&n\\ \text{par}.\end{cases}í]

Passo 4

Propondo
x_p(t)=\sum_{n=1}^\infty B_n\sin(nt),
temos
x_p''(t)=\sum_{n=1}^\infty(-n^2B_n)\sin(nt).
Substituindo na EDO:
m\sum(-n^2B_n)\sin(nt)+\kappa\sum B_n\sin(nt) =\sum\bigl(\kappa - m n^2\bigr)B_n\sin(nt)=f(t)=\sum F_n\sin(nt).
Pela ortogonalidade, para cada n vale
(\kappa - m n^2)\,B_n = F_n.

Passo 5

Isolando B_n e usando o valor de F_n achado antes,
B_n = \frac{F_n}{\kappa - m n^2} =\begin{cases} \displaystyle \frac{\tfrac{4f_0}{\pi\,n}}{\kappa - m n^2} =\frac{4f_0}{\pi\,n\,(\kappa - m n^2)},&n\\ \text{ímpar},\\[8pt] 0,&n\\ \text{par}. \end{cases}í]

Resposta

B_n = \begin{cases} \displaystyle \frac{4\,f_{0}}{\pi\,n\,(\kappa - m\,n^{2})},&n\\ \text{ímpar},\\[6pt] 0,&n\\ \text{par}. \end{cases}í]

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