10: Considere um sistema massa-mola não amortecido, com massa m>0\) e constante de mola \(\kappa>0\). O sistema é excitado por uma força periódica \(f(t)\) de período \(2 \pi\), definida em ( \(0,2 \pi\) ) por
\[f(t)= \begin{cases}f_{0}, & 0<t<\pi \\\\ -f_{0}, & \pi<t<2 \pi\end{cases}
e estendida a \mathbb{R}\] - por periodicidade, de modo que \(f seja ímpar.
O movimento x(t) satisfaz a equação diferencial
m x^{\prime \prime}(t)+\kappa x(t)=f(t)
Determine uma solução particular x_{p}(t) admitindo a representação em série de senos
x_{p}(t)=\sum_{n=1}^{\infty} B_{n} \sin (n t)
e calcule os coeficientes B_{n}.
Passo 1
O enunciado dá o sistema massa-mola não amortecido
m x''(t) + \kappa\,x(t) = f(t)
onde f(t) é um sinal quadrado de período 2\pi, ímpar, valendo f_0 em (0,\pi) e -f_0 em (\pi,2\pi).
O objetivo é achar uma solução particular na forma de série de senos
x_p(t) = \sum_{n=1}^\infty B_n \sin(nt).
Vamos usar Fourier de séries para f(t) e, em seguida, igualar coeficientes na EDO.
Passo 2
Como f(t) é função ímpar de período 2\pi, só aparecem termos \sin(nt) em sua série de Fourier. Os coeficientes de seno são