9: Determine a série de Fourier da função abaixo e faça o seu prologamento periódico.
f(x)=1, \quad 0<x<\pi
Passo 1
O enunciado pede a expansão de Fourier de f(x)=1 no intervalo 0<x<\pi e, em seguida, seu prolongamento periódico de período 2\pi. Como f está definida apenas em (0,\pi), vamos escolher o prolongamento ímpar (para obter série de senos), isto é, definimos a extensão periódica f_{\text{per}}(x) de modo que
O prolongamento periódico de período 2\pi\) é a onda quadrada ímpar:
\[f_{\text{per}}(x)= \begin{cases} 1, & 2m\pi<x<(2m+1)\pi,\\\\ -1,& (2m-1)\pi<x<2m\pi,\\\\ 0,& x=m\pi,\;m\in\mathbb{Z}. \end{cases}
Em cada período de comprimento 2\pi\], vale \(+1 no semi-intervalo 0<x<\pi e -1 em -\pi<x<0.