9: Determine a série de Fourier da função abaixo e faça o seu prologamento periódico.
f(x)=1, \quad 0<x<\pi

Passo 1

O enunciado pede a expansão de Fourier de f(x)=1 no intervalo 0<x<\pi e, em seguida, seu prolongamento periódico de período 2\pi. Como f está definida apenas em (0,\pi), vamos escolher o prolongamento ímpar (para obter série de senos), isto é, definimos a extensão periódica f_{\text{per}}(x) de modo que
f_{\text{per}}(x+2\pi)=f_{\text{per}}(x),
com
f_{\text{per}}(x)= \begin{cases} 1, & 0<x<\pi,\\\\ -1,& -\pi<x<0, \end{cases} \qquad f_{\text{per}}(0)=f_{\text{per}}(\pm\pi)=0.
Para esse prolongamento ímpar só haverá termos senoidais. Usaremos a fórmula dos coeficientes
b_n=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}f(x)\sin(nx)\,dx.

Passo 2

Calculamos
b_n=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}1\cdot\sin(nx)\,dx =\frac{2}{\pi}\Bigl[-\frac{\cos(nx)}{n}\Bigr]_{0}^{\pi} =\frac{2}{\pi}\;\frac{1-(-1)^n}{n}.
Note que, se n é par, 1-(-1)^n=0; se n é ímpar, 1-(-1)^n=2. Logo, para n=2k+1,
b_{2k+1}=\frac{2}{\pi}\;\frac{2}{2k+1} =\frac{4}{\pi(2k+1)},
e b_{2k}=0.

Passo 3

A série de Fourier (só senos) fica
f(x)\sim\sum_{n=1}^{\infty}b_n\sin(nx) =\sum_{k=0}^{\infty}\frac{4}{\pi(2k+1)}\, \sin\bigl((2k+1)x\bigr).
Portanto
\boxed{f(x)=\frac{4}{\pi}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{\sin\bigl((2k+1)x\bigr)}{2k+1},\quad 0<x<\pi.}

Passo 4

O prolongamento periódico de período 2\pi\) é a onda quadrada ímpar: \[f_{\text{per}}(x)= \begin{cases} 1, & 2m\pi<x<(2m+1)\pi,\\\\ -1,& (2m-1)\pi<x<2m\pi,\\\\ 0,& x=m\pi,\;m\in\mathbb{Z}. \end{cases}
Em cada período de comprimento 2\pi\], vale \(+1 no semi-intervalo 0<x<\pi e -1 em -\pi<x<0.

Resposta

f(x)=\frac{4}{\pi}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{\sin\bigl((2k+1)x\bigr)}{2k+1},
com prolongamento periódico de período 2\pi dado pela onda quadrada ímpar descrita acima.

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