8: Considere a função
f(x)= \begin{cases}-k, & -\pi<x<0 \\\ k, & 0<x<\pi\end{cases}
periodizada com período \pi.
a) Calcule os coeficientes de Fourier e escreva a série de f.
b) Discuta a convergência da série de Fourier, determine o valor da série no ponto de descontinuidade.

Passo 1

O enunciado define uma função periódica de “onda quadrada” com valor -k em -\pi<x<0 e valor k em 0<x<\pi, periodizada com período 2\pi. O objetivo é achar a série de Fourier dessa função e discutir onde ela converge e o que vale no ponto de descontinuidade. Para isso vamos usar o fato de que a função é ímpar e aplicar as fórmulas dos coeficientes de Fourier numéricos em -\pi\le x\le\pi.

Passo 2

Como a função satisfaz f(-x)=-f(x), ela é ímpar. Logo todos os coeficientes a_n da série de Fourier são zero:
a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos(nx)\,dx=0.
Restam só os coeficientes b_n, dados por
b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin(nx)\,dx.

Passo 3

Vamos dividir a integral para -\pi<x<0 e 0<x<\pi:
\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin(nx)\,dx =\int_{-\pi}^{0}(-k)\sin(nx)\,dx+\int_{0}^{\pi}k\sin(nx)\,dx.
Calculemos cada termo:
\int_{0}^{\pi}k\sin(nx)\,dx =k\biggl[-\frac{\cos(nx)}{n}\biggr]_{0}^{\pi} =\frac{k}{n}\bigl(1-(-1)^n\bigr),
\int_{-\pi}^{0}(-k)\sin(nx)\,dx =-k\biggl[-\frac{\cos(nx)}{n}\biggr]_{-\pi}^{0} =\frac{k}{n}\bigl(1-(-1)^n\bigr).
Somando os dois resultados:
\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin(nx)\,dx =\frac{2k}{n}\bigl(1-(-1)^n\bigr).
Portanto
b_n =\frac{1}{\pi}\,\frac{2k}{n}\bigl(1-(-1)^n\bigr).
Quando n é par, 1-(-1)^n=0. Quando n é ímpar, 1-(-1)^n=2. Logo para n=2m+1 temos
b_{2m+1} =\frac{1}{\pi}\,\frac{2k}{2m+1}\cdot2 =\frac{4k}{(2m+1)\pi},
e para n par b_n=0.

Passo 4

Substituindo em
f(x)\sim\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\bigl(a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)\bigr),
com a_0=0 e a_n=0, obtemos a série de Fourier:
\boxed{ f(x) =\sum_{m=0}^{\infty}\frac{4k}{(2m+1)\pi}\,\sin\bigl((2m+1)x\bigr). }

Passo 5

Pelo teorema de Dirichlet, essa série converge para f(x) em todos os pontos de continuidade de f e, em cada ponto de descontinuidade, converge para a média dos limites laterais. A função tem descontinuidade em x=0 (e nos demais x=n\pi). Ali
f(0^-)= -k,\quad f(0^+)=k,
então a série converge para
\frac{f(0^-)+f(0^+)}{2} =\frac{-k+k}{2}=0.

Resposta

a)
f(x) =\sum_{m=0}^{\infty}\frac{4k}{(2m+1)\pi}\,\sin\bigl((2m+1)x\bigr).
b) A série converge para f(x) em todo ponto onde f é contínua e, em cada ponto de descontinuidade (por exemplo x=0), converge para a média dos valores laterais, isto é 0.

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