8: Considere a função
periodizada com período
.
a) Calcule os coeficientes de Fourier e escreva a série de
.
b) Discuta a convergência da série de Fourier, determine o valor da série no ponto de descontinuidade.
a) Calcule os coeficientes de Fourier e escreva a série de
b) Discuta a convergência da série de Fourier, determine o valor da série no ponto de descontinuidade.
Passo 1
O enunciado define uma função periódica de “onda quadrada” com valor
em
e valor
em
, periodizada com período
. O objetivo é achar a série de Fourier dessa função e discutir onde ela converge e o que vale no ponto de descontinuidade. Para isso vamos usar o fato de que a função é ímpar e aplicar as fórmulas dos coeficientes de Fourier numéricos em
.
Passo 2
Como a função satisfaz
, ela é ímpar. Logo todos os coeficientes
da série de Fourier são zero:
Restam só os coeficientes
, dados por
Passo 3
Vamos dividir a integral para
e
:
Calculemos cada termo:
Somando os dois resultados:
Portanto
Quando
é par,
. Quando
é ímpar,
. Logo para
temos
e para
par
.
Passo 4
Substituindo em
com
e
, obtemos a série de Fourier:
Passo 5
Pelo teorema de Dirichlet, essa série converge para
em todos os pontos de continuidade de
e, em cada ponto de descontinuidade, converge para a média dos limites laterais. A função tem descontinuidade em
(e nos demais
). Ali
então a série converge para
Resposta
a)
b) A série converge para
em todo ponto onde
é contínua e, em cada ponto de descontinuidade (por exemplo
), converge para a média dos valores laterais, isto é
.