Prove que, sendo
um corpo, então:
;
Passo 1
Estamos num corpo
. Queremos mostrar que o conjunto dos elementos regulares de
(isto é, sem divisores de zero) coincide com
. Vamos usar:
– Definição de corpo: todo elemento não nulo em é invertível.
– Definição de elemento regular (não divisor de zero): é regular se, sempre que
, isso implica
.
– Definição de corpo: todo elemento não nulo em
– Definição de elemento regular (não divisor de zero):
Passo 2
Seja
com
. Como
é corpo, existe
tal que
Suponha que
para algum
. Multiplicando à esquerda por
obtemos
Por outro lado,
implica
. Assim
.
Isso mostra que nenhum pode anular um
. Logo todo
é regular.
Isso mostra que nenhum
Passo 3
O elemento
não é regular, pois
para qualquer
. Em particular, há
com
, ou seja,
é divisor de zero.
Resposta
Portanto