Prove que, sendo K um corpo, então:
R(K)=K-{0};

Passo 1

Estamos num corpo K. Queremos mostrar que o conjunto dos elementos regulares de K (isto é, sem divisores de zero) coincide com K\setminus\{0\}. Vamos usar:
– Definição de corpo: todo elemento não nulo em K é invertível.
– Definição de elemento regular (não divisor de zero): a\in K é regular se, sempre que a b=0, isso implica b=0.

Passo 2

Seja a\in K com a\neq0. Como K é corpo, existe a^{-1}\in K tal que
a^{-1}a = 1.
Suponha que a b=0 para algum b\in K. Multiplicando à esquerda por a^{-1} obtemos
a^{-1}(a b)= (a^{-1}a)\,b = 1\cdot b = b.
Por outro lado, a b=0 implica a^{-1}(a b)=a^{-1}\cdot 0 = 0. Assim b=0.
Isso mostra que nenhum b\neq0 pode anular um a\neq0. Logo todo a\neq0 é regular.

Passo 3

O elemento 0 não é regular, pois 0\cdot b=0 para qualquer b\in K. Em particular, há b\neq0 com 0\cdot b=0, ou seja, 0 é divisor de zero.

Resposta

Portanto
R(K)=\{\,a\in K\mid a\text{ é regular}\} = K\setminus\{0\}.é

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