10 Considere os vetores , e
(a) Mostre que e formam uma base para ;
(b) Escreva o vetor como combinação linear dos vetores .
Passo 1
O enunciado dá os vetores , e ,
e pede:
(a) mostrar que formam uma base de ;
(b) escrever como combinação linear deles.
Para (a) vamos testar independência linear via determinante de matriz cujas colunas são . Para (b) montamos um sistema para achar coeficientes de combinação.
Passo 2
Formamos a matriz cujas colunas são as componentes de em relação à base canônica:
Se det Aneq0, os vetores são linearmente independentes e como há três vetores em R^3, eles formam base.
Passo 3
Calculamos o determinante:
det A =2,(1cdot2-0cdot2) -0,(-1cdot2-0cdot0) +1,(-1cdot2-1cdot0) =2cdot2+1cdot(-2) =4-2 =2neq0
Passo 4
Como det A=2neq0, u,v,w são linearmente independentes e, sendo três vetores em R^3, formam uma base de R^3.
Passo 5
Para expressar a=2i-j+3k
como combinação linear, escrevemos