10 Considere os vetores u=2 i-j, v=j+2 k, e w=i+2 k M
(a) Mostre que u, v e w formam uma base para R^3;
(b) Escreva o vetor a=2 i-j+3 k como combinação linear dos vetores u, v e w.

Passo 1

O enunciado dá os vetores
u=2i-j,
v=j+2k e
w=i+2k,
e pede:
(a) mostrar que u,v,w formam uma base de R^3;
(b) escrever a=2i-j+3k como combinação linear deles.
Para (a) vamos testar independência linear via determinante de matriz cujas colunas são u,v,w. Para (b) montamos um sistema para achar coeficientes de combinação.

Passo 2

Formamos a matriz A cujas colunas são as componentes de u,v,w em relação à base canônica:
A = 2 & 0 & 1 -1 & 1 & 0 0 & 2 & 2
Se det Aneq0, os vetores são linearmente independentes e como há três vetores em R^3, eles formam base.

Passo 3

Calculamos o determinante:
det A =2,(1cdot2-0cdot2) -0,(-1cdot2-0cdot0) +1,(-1cdot2-1cdot0) =2cdot2+1cdot(-2) =4-2 =2neq0

Passo 4

Como det A=2neq0, u,v,w são linearmente independentes e, sendo três vetores em R^3, formam uma base de R^3.

Passo 5

Para expressar
a=2i-j+3k
como combinação linear, escrevemos
c1u+c2v+c3w =l(2c1+c3,;-c1+c2,;2c2+2c3r) =(2,-1,3)
Isto gera o sistema
2c1 + c3 = 2, -c1 + c2 = -1, 2c2 + 2c3 = 3

Passo 6

Da segunda equação vem
c2 = c1 - 1
Da primeira,
c3 = 2 - 2c1
Substituindo na terceira:
2(c1-1)+2(2-2c1)=3 ;Longrightarrow; 2c1-2+4-4c1=3 ;Longrightarrow; -2c1+2=3 ;Longrightarrow; c1=-tfrac12
Logo
c2=-tfrac12-1=-tfrac32, c3=2-2l(-tfrac12r)=3

Passo 7

Substituindo de volta, obtemos
a =-tfrac12,u -tfrac32,v +3,w

Resposta

(a) Como det A=2neq0, u,v,w são linearmente independentes em R^3 e formam uma base.
(b)
a =-tfrac12,u -tfrac32,v +3,w

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