Seja o espaço linear das matrizes de entradas reais, e o subespaço de formado pelas matrizes simétricas, ou seja, as matrizes para as quais . Seja definida por .
(a) Verifique que é uma transformação linear.
(b) Determine, em relação a uma base de à sua escolha, a representação matricial de .
(c) Determine o núcleo de , e diga, justificando, se é invertível.
(d) Resolva as alíneas (b) e (c) para a restrição de a .
Passo 1
O enunciado descreve o espaço linear de todas as matrizes reais, o subespaço das matrizes simétricas () e a transformação dada por
Precisamos:
– (a) mostrar que é linear;
– (b) obter a matriz de em alguma base de ;
– (c) achar e decidir se é invertível;
– (d) repetir (b) e (c) para a restrição de a .
Passo 2
Para verificar a linearidade basta checar aditividade e homogeneidade. Sejam e . Então
Logo é transformação linear.
Passo 3
Escolhemos a base padrão .
Calculamos em cada vetor da base:
T() – –,
T() – ,
T() – ,
T() – –.
Assim, em relação a , a matriz de é
Passo 4
Procuramos ker(T)=Ain V : A-2A^t=0. A equação A=2A^t ao transpor dá A^t=2A. Substituindo de volta,
A = 2A^t = 2(2A)=4A Longrightarrow 3A=0 Longrightarrow A=0
Logo ker(T)=0. Em espaço de dimensão finita isso implica que T é injetora e, sendo de V em si, é invertível.
Passo 5
Agora restrigimos T a S. Se Ain S então A^t=A e
T(A)=A-2A^t=A-2A=-A
Escolhendo como base de S por exemplo BS=E11,,E22,,E12+E21,
a matriz de T|S é -I3. Além disso ker(T|S)=Ain S:-A=0=0,
portanto T|S também é invertível.
Resposta
(a) T é linear.
(b) Em relação à base E11,E12,E21,E22,