Seja V o espaço linear das matrizes 2 times 2 de entradas reais, e S o subespaço de V formado pelas matrizes simétricas, ou seja, as matrizes para as quais A=A^t. Seja T: V V definida por T(A)=A-2 A^t.
(a) Verifique que T é uma transformação linear.
(b) Determine, em relação a uma base de V à sua escolha, a representação matricial de T.
(c) Determine o núcleo de T, e diga, justificando, se T é invertível.
(d) Resolva as alíneas (b) e (c) para a restrição de T a S.

Passo 1

O enunciado descreve o espaço linear V de todas as matrizes 2times2 reais, o subespaço Ssubset V das matrizes simétricas ( A=A^t) e a transformação Tcolon Vto V dada por
T(A)=A-2A^t
Precisamos:
– (a) mostrar que T é linear;
– (b) obter a matriz de T em alguma base de V;
– (c) achar ker(T) e decidir se T é invertível;
– (d) repetir (b) e (c) para a restrição de T a S.

Passo 2

Para verificar a linearidade basta checar aditividade e homogeneidade. Sejam A,Bin V e lambdainR. Então
T(A+B)=(A+B)-2(A+B)^t=A-2A^t+B-2B^t=T(A)+T(B),
T(lambda A)=lambda A-2(lambda A)^t=lambda(A-2A^t)=lambda,T(A)
Logo T é transformação linear.

Passo 3

Escolhemos a base padrão
B=E11,,E12,,E21,,E22.
Calculamos T em cada vetor da base:
T( E11) = E11 2E11 = E11,
T( E12) = E12 2E21,
T( E21) = E21 2E12,
T( E22) = E22 2E22 = E22.
Assim, em relação a B, a matriz de T é
-1 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & -2 & 0 0 & -2 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & -1

Passo 4

Procuramos ker(T)=Ain V : A-2A^t=0. A equação A=2A^t ao transpor dá A^t=2A. Substituindo de volta,
A = 2A^t = 2(2A)=4A Longrightarrow 3A=0 Longrightarrow A=0
Logo ker(T)=0. Em espaço de dimensão finita isso implica que T é injetora e, sendo de V em si, é invertível.

Passo 5

Agora restrigimos T a S. Se Ain S então A^t=A e
T(A)=A-2A^t=A-2A=-A
Escolhendo como base de S por exemplo
BS=E11,,E22,,E12+E21,
a matriz de T|S é -I3. Além disso
ker(T|S)=Ain S:-A=0=0,
portanto T|S também é invertível.

Resposta

(a) T é linear.
(b) Em relação à base E11,E12,E21,E22,
-1 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & -2 & 0 0 & -2 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & -1
(c) ker(T)=0, logo T é invertível em V.
(d) Em S, T(A)=-A; em base E11,E22,E12+E21 a matriz é -I3 e ker(T|S)=0, logo T|S é invertível.

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