Seja V o conjunto de todos os pares ordenados de números reais com a soma definida por
e a multiplicação por um escalar definida por
Como a multiplicação por um escalar é definida de maneira diferente da usual, usamos um símbolo diferente para evitar confusão com a multiplicação usual de um vetor linha por um escalar.
é um espaço vetorial em relação a essas operações? Justifique sua resposta.
Passo 1
O enunciado define em
a soma usual
e uma multiplicação por escalar não usual
Queremos ver se todas as propriedades de espaço vetorial (sobre
) permanecem válidas com essa definição de “
”.
Passo 2
Um dos axiomas fundamentais é a distributividade da multiplicação por escalar em relação à soma de escalares, ou seja, para quaisquer
e
deve valer
Passo 3
Escolhendo
, vamos calcular cada lado:
- Lado esquerdo:
- Lado direito:
logo
Comparando, o segundo componente de
é
, mas em
é
.
Resposta
Não. Falha a propriedade
portanto
não é um espaço vetorial.