Seja V o conjunto de todos os pares ordenados de números reais com a soma definida por
(x1, x2)+(y1, y2)=(x1+y1, x2+y2)
e a multiplicação por um escalar definida por
alpha circ(x1, x2)=(alpha x1, x2)
Como a multiplicação por um escalar é definida de maneira diferente da usual, usamos um símbolo diferente para evitar confusão com a multiplicação usual de um vetor linha por um escalar. V é um espaço vetorial em relação a essas operações? Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado define em V=(x1,x2)mid x1,x2inR a soma usual
(x1,x2)+(y1,y2)=(x1+y1,;x2+y2)
e uma multiplicação por escalar não usual
alphacirc(x1,x2)=(alpha x1,;x2)
Queremos ver se todas as propriedades de espaço vetorial (sobre R) permanecem válidas com essa definição de “ circ”.

Passo 2

Um dos axiomas fundamentais é a distributividade da multiplicação por escalar em relação à soma de escalares, ou seja, para quaisquer alpha,betainR e vin V deve valer
(alpha+beta)circ v ;=;alphacirc v;+;betacirc v

Passo 3

Escolhendo v=(x1,x2), vamos calcular cada lado:
  1. Lado esquerdo:
(alpha+beta)circ(x1,x2) =l((alpha+beta)x1,;x2r) =(alpha x1+beta x1,;x2)
  1. Lado direito:
alphacirc(x1,x2) =(alpha x1,;x2), betacirc(x1,x2) =(beta x1,;x2),
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alphacirc v+betacirc v =(alpha x1,;x2)+(beta x1,;x2) =(alpha x1+beta x1,;x2+x2) =(alpha x1+beta x1,;2x2)
Comparando, o segundo componente de (alpha+beta)circ v é x2, mas em alphacirc v+betacirc v é 2x2.

Resposta

Não. Falha a propriedade
(alpha+beta)circ v=alphacirc v+betacirc v,
portanto (V,+,circ) não é um espaço vetorial.

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