Seja P2(R) o espaço linear real dos polinómios de grau <= 2, e T: P2(R) P2(R) a transformação linear definida por T(1+t^2)=2 t, T(t^2)=2 t, T(1+t)=1.
(a) Determine a matriz A que representa T na base canónica de P2(R).
(b) Determine a matriz B que representa T na base ordenada 1,1+t, 1+t+t^2. Indique a matriz de mudança de base S tal que B=S^-1 A S.

Passo 1

O enunciado está em P2(R), o espaço dos polinómios de grau <=2. A transformação linear T é dada em três polinómios:
T(1+t^2)=2t, T(t^2)=2t, T(1+t)=1
(a) Queremos a matriz A de T na base canónica 1,t,t^2.
(b) Queremos a matriz B de T na base ordenada ,1,;1+t,;1+t+t^2 e a matriz de mudança de base S tal que
B = S^-1 A,S

Passo 2

Primeiro determinamos T nos vectores da base canónica 1,t,t^2. Escrevemos as definições dadas como equações em T(1), T(t) e T(t^2):
1. T(1+t^2)=T(1)+T(t^2)=2t 2. T(t^2)=2t 3. T(1+t)=T(1)+T(t)=1
Da equação 2 vem T(t^2)=2t.
Substituindo em 1: T(1)+2t=2t T(1)=0.
Substituindo em 3: 0+T(t)=1 T(t)=1.

Passo 3

Nosso resultado é
T(1)=0, T(t)=1, T(t^2)=2t
Na base canónica 1,t,t^2, as coordenadas são colunas
T(1)=(0,0,0)^T, T(t)=(1,0,0)^T, T(t^2)=(0,2,0)^T
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A= 0 & 1 & 0 0 & 0 & 2 0 & 0 & 0

Passo 4

Agora passamos à base v1,v2,v3=1,;1+t,;1+t+t^2. Calculamos
T(v1)=T(1)=0, T(v2)=T(1+t)=1, T(v3)=T(1+t+t^2)=T(1+t)+T(t^2)=1+2t
Queremos as coordenadas de cada T(vj) nessa mesma base: se escrevemos
acdot1 + b,(1+t)+c,(1+t+t^2)
igual a cada imagem, obtemos:
  • Para T(v1)=0: (a,b,c)=(0,0,0).
  • Para T(v2)=1: resolve a+b+c=1,;b+c=0,;c=0 to (1,0,0).
  • Para T(v3)=1+2t: resolve a+b+c=1,;b+c=2,;c=0 to (-1,2,0).
Assim
B= 0 & 1 & -1 0 & 0 & 2 0 & 0 & 0

Passo 5

A matriz de mudança de base S que leva coordenadas na base v1,v2,v3 às coordenadas na base canónica é dada pelas colunas com as coordenadas de vj na base canónica:
v1=1mapsto(1,0,0), v2=1+tmapsto(1,1,0), v3=1+t+t^2mapsto(1,1,1),
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S= 1 & 1 & 1 0 & 1 & 1 0 & 0 & 1

Passo 6

Verificamos a relação clássica de mudança de base:
B ;=; S^-1,A,S

Resposta

(a) A=0&1&00&0&20&0&0
(b) B=0&1&-10&0&20&0&0, S=1&1&10&1&10&0&1,
com B=S^-1AS.

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