Seja o espaço linear real dos polinómios de grau , e a transformação linear definida por .
(a) Determine a matriz que representa na base canónica de .
(b) Determine a matriz que representa na base ordenada . Indique a matriz de mudança de base tal que .
Passo 1
O enunciado está em , o espaço dos polinómios de grau . A transformação linear é dada em três polinómios:
(a) Queremos a matriz de na base canónica .
(b) Queremos a matriz de na base ordenada e a matriz de mudança de base tal que
Passo 2
Primeiro determinamos nos vectores da base canónica . Escrevemos as definições dadas como equações em , e : . . .
Da equação vem .
Substituindo em : dá .
Substituindo em : dá .
Passo 3
Nosso resultado é
Na base canónica , as coordenadas são colunas
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Passo 4
Agora passamos à base v1,v2,v3=1,;1+t,;1+t+t^2. Calculamos
Queremos as coordenadas de cada T(vj) nessa mesma base: se escrevemos
acdot1 + b,(1+t)+c,(1+t+t^2)
igual a cada imagem, obtemos:
Para T(v1)=0: (a,b,c)=(0,0,0).
Para T(v2)=1: resolve a+b+c=1,;b+c=0,;c=0 to (1,0,0).
Para T(v3)=1+2t: resolve a+b+c=1,;b+c=2,;c=0 to (-1,2,0).
Assim
B= 0 & 1 & -1 0 & 0 & 2 0 & 0 & 0
Passo 5
A matriz de mudança de base S que leva coordenadas na base v1,v2,v3 às coordenadas na base canónica é dada pelas colunas com as coordenadas de vj na base canónica: