10- Demonstre a regra do cosseno para a diferença entre 2 vetores.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente demonstrar a regra do cosseno para a diferença entre dois vetores. Isso faz parte da matéria de Geometria Vetorial. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos como vetores, diferença de vetores, produto escalar e a fórmula da regra do cosseno.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a diferença entre dois vetores. Se tivermos dois vetores,
e
, a diferença entre eles é outro vetor, representado por
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a magnitude desse vetor diferença,
. A magnitude de um vetor
pode ser calculada usando o produto escalar. A fórmula geral para a magnitude é:
Passo 4
Vamos expandir o produto escalar:
Sabemos que
e
, então:
Passo 5
Agora, vamos lembrar que o produto escalar entre dois vetores também pode ser expresso em termos das magnitudes dos vetores e do cosseno do ângulo entre eles:
Onde
é o ângulo entre
e
.
Passo 6
Substituindo essa expressão na equação anterior, temos:
Essa é exatamente a regra do cosseno aplicada à diferença entre dois vetores!
Resposta
Portanto, demonstramos que a magnitude da diferença entre dois vetores
e
é dada por: