10- Demonstre a regra do cosseno para a diferença entre 2 vetores.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente demonstrar a regra do cosseno para a diferença entre dois vetores. Isso faz parte da matéria de Geometria Vetorial. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos como vetores, diferença de vetores, produto escalar e a fórmula da regra do cosseno.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a diferença entre dois vetores. Se tivermos dois vetores, A e B , a diferença entre eles é outro vetor, representado por C = A - B .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a magnitude desse vetor diferença, |C| . A magnitude de um vetor C = A - B pode ser calculada usando o produto escalar. A fórmula geral para a magnitude é:
|C| = raiz(A - B) cdot (A - B)

Passo 4

Vamos expandir o produto escalar:
(A - B) cdot (A - B) = A cdot A - 2A cdot B + B cdot B
Sabemos que A cdot A = |A|^2 e B cdot B = |B|^2 , então:
|C|^2 = |A|^2 - 2A cdot B + |B|^2

Passo 5

Agora, vamos lembrar que o produto escalar entre dois vetores também pode ser expresso em termos das magnitudes dos vetores e do cosseno do ângulo entre eles:
A cdot B = |A| cdot |B| cdot cos(theta)
Onde theta é o ângulo entre A e B .

Passo 6

Substituindo essa expressão na equação anterior, temos:
|C|^2 = |A|^2 - 2|A| cdot |B| cdot cos(theta) + |B|^2
Essa é exatamente a regra do cosseno aplicada à diferença entre dois vetores!

Resposta

Portanto, demonstramos que a magnitude da diferença entre dois vetores A e B é dada por:
|A - B|^2 = |A|^2 + |B|^2 - 2|A| cdot |B| cdot cos(theta)

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