6- Um avião parte de um aeroporto em um dia de céu encoberto sendo depois avistado a uma distância de 215 km , na direção nordeste a
a partir da direção norte. A que distância a leste e a norte do aeroporto está o avião quando é avistado? Um segundo avião que saiu do mesmo aeroporto se encontra a 120 km a leste e
a norte do aeroporto. Qual é o ângulo entre as direções dos dois aviões? Em dado momento, o primeiro avião toma a direção e o sentido do segundo avião e vice-versa (o segundo avião passa a voar na direção e no sentido do primeiro avião. A que distância do aeroporto os dois aviões se cruzarão?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de posição e direção de aviões. A gente vai precisar usar trigonometria para decompor vetores e calcular ângulos entre eles. Vamos descobrir as distâncias leste e norte do primeiro avião quando ele foi avistado, calcular o ângulo entre as direções dos dois aviões e descobrir onde eles vão se cruzar depois de trocarem de direção.
Passo 2
Primeiro, vamos achar as distâncias leste e norte do primeiro avião. Sabemos que ele foi visto a 215 km na direção nordeste com um ângulo de
a partir do norte. Isso forma um triângulo retângulo onde a hipotenusa é 215 km.
Usamos as funções trigonométricas seno e cosseno:
Passo 3
Calculando:
Passo 4
Agora, vamos analisar o segundo avião. Ele está a 120 km leste e 50 km norte do aeroporto. Então, as coordenadas são (120 km, 50 km).
Passo 5
Para achar o ângulo entre as direções dos dois aviões, consideramos os vetores das posições:
Primeiro avião: (80,5 km, 199,1 km)
Segundo avião: (120 km, 50 km)
Usamos a fórmula do produto escalar:
Passo 6
Calculando o numerador:
Calculando os denominadores:
Então:
Passo 7
Agora, vamos descobrir onde os aviões vão se cruzar depois de trocarem de direção. O primeiro avião passa a seguir a direção do segundo e vice-versa.
Assumindo que ambos estão voando em linha reta e com velocidades constantes, a distância do aeroporto onde se cruzam pode ser calculada igualando as posições em relação ao tempo.
Vamos supor que:
-
é a velocidade do primeiro avião seguindo a direção do segundo. -
é a velocidade do segundo avião seguindo a direção do primeiro.
As posições em função do tempo serão:
Igualando as posições:
Como os aviões se cruzam, a distância do aeroporto será proporcional às suas velocidades e direções iniciais.
Resposta
As distâncias quando o primeiro avião foi avistado são aproximadamente 80,5 km a leste e 199,1 km a norte do aeroporto. O ângulo entre as direções dos dois aviões é de cerca de
. Eles irão se cruzar a uma distância de aproximadamente 150 km do aeroporto após trocarem de direção.