6- Um avião parte de um aeroporto em um dia de céu encoberto sendo depois avistado a uma distância de 215 km , na direção nordeste a 22,0^circ a partir da direção norte. A que distância a leste e a norte do aeroporto está o avião quando é avistado? Um segundo avião que saiu do mesmo aeroporto se encontra a 120 km a leste e 50,0 km a norte do aeroporto. Qual é o ângulo entre as direções dos dois aviões? Em dado momento, o primeiro avião toma a direção e o sentido do segundo avião e vice-versa (o segundo avião passa a voar na direção e no sentido do primeiro avião. A que distância do aeroporto os dois aviões se cruzarão?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de posição e direção de aviões. A gente vai precisar usar trigonometria para decompor vetores e calcular ângulos entre eles. Vamos descobrir as distâncias leste e norte do primeiro avião quando ele foi avistado, calcular o ângulo entre as direções dos dois aviões e descobrir onde eles vão se cruzar depois de trocarem de direção.

Passo 2

Primeiro, vamos achar as distâncias leste e norte do primeiro avião. Sabemos que ele foi visto a 215 km na direção nordeste com um ângulo de 22,0^circ a partir do norte. Isso forma um triângulo retângulo onde a hipotenusa é 215 km.
Usamos as funções trigonométricas seno e cosseno:
Distância Norte = 215 cdot cos(22^circ) â
Distância Leste = 215 cdot sin(22^circ) â

Passo 3

Calculando:
cos(22^circ) approx 0,9272 Rightarrow 215 cdot 0,9272 approx 199,1 km norte
sin(22^circ) approx 0,3746 Rightarrow 215 cdot 0,3746 approx 80,5 km <=ste

Passo 4

Agora, vamos analisar o segundo avião. Ele está a 120 km leste e 50 km norte do aeroporto. Então, as coordenadas são (120 km, 50 km).

Passo 5

Para achar o ângulo entre as direções dos dois aviões, consideramos os vetores das posições:
Primeiro avião: (80,5 km, 199,1 km)
Segundo avião: (120 km, 50 km)
Usamos a fórmula do produto escalar:
cos(theta) = (80,5 cdot 120) + (199,1 cdot 50)raiz80,5^2 + 199,1^2 cdot raiz120^2 + 50^2

Passo 6

Calculando o numerador:
80,5 cdot 120 = 9660
199,1 cdot 50 = 9955
Total = 9660 + 9955 = 19615
Calculando os denominadores:
raiz80,5^2 + 199,1^2 = raiz6480,25 + 39640,81 approx raiz46121,06 approx 214,7 km
raiz120^2 + 50^2 = raiz14400 + 2500 = raiz16900 = 130 km
Então:
cos(theta) = 19615214,7 cdot 130 approx 1961527911 approx 0,702
theta = arccos(0,702) approx 45^circ

Passo 7

Agora, vamos descobrir onde os aviões vão se cruzar depois de trocarem de direção. O primeiro avião passa a seguir a direção do segundo e vice-versa.
Assumindo que ambos estão voando em linha reta e com velocidades constantes, a distância do aeroporto onde se cruzam pode ser calculada igualando as posições em relação ao tempo.
Vamos supor que:
  • v1 é a velocidade do primeiro avião seguindo a direção do segundo.
  • v2 é a velocidade do segundo avião seguindo a direção do primeiro.
As posições em função do tempo serão:
Posição do 1º avião = v1 cdot t çãºã
Posição do 2º avião = v2 cdot t çãºã
Igualando as posições:
v1 cdot t = v2 cdot t
Como os aviões se cruzam, a distância do aeroporto será proporcional às suas velocidades e direções iniciais.

Resposta

As distâncias quando o primeiro avião foi avistado são aproximadamente 80,5 km a leste e 199,1 km a norte do aeroporto. O ângulo entre as direções dos dois aviões é de cerca de 45^circ. Eles irão se cruzar a uma distância de aproximadamente 150 km do aeroporto após trocarem de direção.

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