10. Derivada de uma função vetorial

Um drone de competição realiza um movimento circular uniforme no plano horizontal x y, com raio R= 5 m e velocidade angular omega=2 rad / s. Sua posição é dada por:
r(t)=(5 cos (2 t), 5 sin (2 t), 0) m

Determine:

  1. A velocidade v(t) do drone.
  2. A aceleração a(t) do drone.

Passo 1

O enunciado dá a posição do drone como função vetorial
r(t) = (5cos(2t),,5sin(2t),,0)
e pede a velocidade v(t) e a aceleração a(t). O conteúdo aqui é derivada de função vetorial componente a componente, usando a regra da cadeia para cos(2t) e sin(2t).

Passo 2

Para achar a velocidade calculamos
v(t) = drdt
derivando cada componente:
x(t)=5cos(2t)
dxdt = 5cdot(-sin(2t))cdot 2 = -10sin(2t)
y(t)=5sin(2t)
dydt = 5cdotcos(2t)cdot 2 = 10cos(2t)
z(t)=0 dzdt=0.
Logo
v(t)=(-10sin(2t),,10cos(2t),,0)

Passo 3

Para achar a aceleração calculamos
a(t) = dvdt
derivando cada componente de v(t):
-10sin(2t)
ddt[-10sin(2t)] = -10cdotcos(2t)cdot 2 = -20cos(2t)
10cos(2t)
ddt[10cos(2t)] = 10cdot(-sin(2t))cdot 2 = -20sin(2t)
– a componente em z permanece zero.
Logo
a(t)=(-20cos(2t),,-20sin(2t),,0)

Resposta

  1. v(t)=(-10sin(2t),,10cos(2t),,0),m/s
  2. a(t)=(-20cos(2t),,-20sin(2t),,0),m/s^2

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