Prove que:
lim n infty (3n)^1n=1

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
limntoinftyl(3nr)^1n=1
O conteúdo que vamos usar é a continuidade da função exponencial e a propriedade de limites envolvendo logaritmos: se an>0 e existe limntoinftyan^1/n, podemos estudá-la via ln, pois a exponencial é contínua.

Passo 2

Defina
L = limntoinftyl(3nr)^1n
Como ln é contínuo e invertível em (0,infty), temos
ln L = limntoinfty lnl[l(tfrac3nr)^tfrac1nr] = limntoinfty 1n,lnl(3nr)

Passo 3

Simplificando o logaritmo,
ln L = limntoinfty 1nl(ln 3 - ln nr) = limntoinftyln 3n - limntoinftyln nn
Claramente limntoinftyln 3n=0. Para limntoinftyln nn, aplicando a regra de l\’Hôpital (tratando n como variável real xtoinfty) obtemos
limxtoinftyln xx ;xrightarrowL'Hôpital; limxtoinfty1/x1 =0 ô
Logo ln L = 0.

Passo 4

Como ln L=0, tirando exponencial em ambos os lados,
L = e^0 = 1

Resposta

1

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