(RA1 e RA2) Esboce a região limitada pelas curvas dadas e calcule a área por integral. Em seguida, verifique se o resultado apresentado está coerente (compare o resultado dado com a área de uma ou mais figuras planas conhecidas que contenham a região limitada - destaque a figura da região utilizada para verificação superposta à região original).
y=x^2-4, y=8-2 x^2
Verificação:

Passo 1

O enunciado pede para esboçar a região limitada pelas curvas
y = x^2 - 4 e y = 8 - 2x^2
e calcular a área dessa região via integração.
Conteúdo: área entre curvas. Vamos precisar
  1. encontrar os pontos de interseção;
  2. montar a integral da diferença entre as funções;
  3. calcular a integral;
  4. verificar coerência comparando com áreas de figuras planas conhecidas.

Passo 2

Para achar os limites de integração, igualamos as duas curvas:
x^2 - 4 = 8 - 2x^2 ;;Longrightarrow;; 3x^2 = 12 ;;Longrightarrow;; x^2 = 4 ;;Longrightarrow;; x = pm 2
Logo a região está entre x=-2 e x=2.

Passo 3

Em cada x o comprimento vertical do “furo” é
l(função de cimar) - l(função de baixor) = l(8 - 2x^2r) - l(x^2 - 4r) = 12 - 3x^2 çãçã
Portanto a área A é
A = integralx=-2^2 l[,12 - 3x^2,r],dx

Passo 4

Calculando a integral:
integral-2^2 (12 - 3x^2),dx = l[,12x - x^3r]-2^2 = l(24 - 8r) - l(-24 + 8r) = 16 - (-16) = 32

Passo 5

Portanto
boxedA = 32

Passo 6

Verificação de coerência:
  1. A região está contida no retângulo
    ,[-2,2]times[-4,8], cuja área é 4 times 12 = 48 Como 32 < 48, faz sentido.
  2. Por outro lado, inscrevemos um retângulo que caiba todo dentro da região, por exemplo
    ,[-1,1]times[0,4], cuja área é 2 times 4 = 8 E de fato 8 < 32.
    Como 32 fica entre 8 e 48, o valor obtido é coerente com a forma e tamanho da região.

Resposta

32

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