(RA1 e RA2) Esboce a região limitada pelas curvas dadas e calcule a área por integral. Em seguida, verifique se o resultado apresentado está coerente (compare o resultado dado com a área de uma ou mais figuras planas conhecidas que contenham a região limitada - destaque a figura da região utilizada para verificação superposta à região original).
Verificação:
Passo 1
O enunciado pede para esboçar a região limitada pelas curvas
e calcular a área dessa região via integração.
Conteúdo: área entre curvas. Vamos precisar
Conteúdo: área entre curvas. Vamos precisar
- encontrar os pontos de interseção;
- montar a integral da diferença entre as funções;
- calcular a integral;
- verificar coerência comparando com áreas de figuras planas conhecidas.
Passo 2
Para achar os limites de integração, igualamos as duas curvas:
Logo a região está entre
e
.
Passo 3
Em cada
o comprimento vertical do “furo” é
Portanto a área
é
Passo 4
Calculando a integral:
Passo 5
Portanto
Passo 6
Verificação de coerência:
- A região está contida no retângulo
, cuja área é Como , faz sentido. - Por outro lado, inscrevemos um retângulo que caiba todo dentro da região, por exemplo
, cuja área é E de fato .
Comofica entre e , o valor obtido é coerente com a forma e tamanho da região.