10)Depois de deslizar em uma superfície horizontal sem atrito com velocidade v=0,50 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, uma massa m=0,40 \mathrm{~kg} colide com uma mola de constante elástica k=750 \mathrm{~N} / \mathrm{m} e começa a comprimi-la. No instante em que o corpo para momentaneamente por causa da força exercida pela mola, de que distância d a mola foi comprimida?

Passo 1

O enunciado fornece e pede o seguinte (valores e informações relevantes):
  • Massa: m=0{,}40\\ \mathrm{kg}.
  • Velocidade inicial do bloco ao tocar a mola: v=0{,}50\\ \mathrm{m/s}.
  • Constante elástica da mola: k=750\\ \mathrm{N/m}.
  • A superfície é horizontal e sem atrito (não há perda de energia por atrito).
  • Pede-se a distância d de compressão máxima da mola no instante em que o corpo para momentaneamente.

Passo 2

Escolha física e ideias fundamentais usadas (explicação didática):
  • Em uma superfície sem atrito não há dissipação de energia mecânica por calor. Isso significa que a energia mecânica total se conserva durante o processo de compressão (energia cinética inicial transforma-se em energia potencial elástica da mola).
  • Energia cinética de uma massa em movimento: \displaystyle E_{\text{c}}=\tfrac{1}{2}mv^{2}, onde:
    • m é a massa em \mathrm{kg},
    • v é a velocidade em \mathrm{m/s},
    • a unidade de E_{\text{c}} é joule ( \mathrm{J}).
  • Energia potencial elástica armazenada numa mola comprimida de distância x: \displaystyle U_{\text{mola}}=\tfrac{1}{2}k x^{2}, onde:
    • k é a constante elástica em \mathrm{N/m},
    • x é a compressão em metros,
    • a unidade de U_{\text{mola}} também é joule ( \mathrm{J}).
  • No instante de compressão máxima o bloco está momentaneamente parado, logo sua energia cinética é zero e toda a energia inicial \tfrac{1}{2}mv^{2} foi convertida em \tfrac{1}{2}k d^{2}.
  • Portanto, pela conservação de energia mecânica: \tfrac{1}{2} m v^{2} = \tfrac{1}{2} k d^{2}.

Passo 3

Algebra para isolar d (mostrar cada passo):
  • Começando de \tfrac{1}{2} m v^{2} = \tfrac{1}{2} k d^{2},podemos cancelar o fator \tfrac{1}{2} em ambos os lados: m v^{2} = k d^{2}.
  • Isolando d^{2}: d^{2} = \dfrac{m v^{2}}{k}.
  • Tomando raiz quadrada (escolhendo a raiz positiva, porque d é uma distância): d = v\sqrt{\dfrac{m}{k}}.

Passo 4

Cálculo numérico detalhado (contas passo a passo, sem pular etapas):
  • Primeiro calcular m v^{2}: m v^{2} = 0{,}40 \times (0{,}50)^{2} = 0{,}40 \times 0{,}25 = 0{,}10\\ \mathrm{J}.Observação: a unidade \mathrm{kg}\cdot(\mathrm{m/s})^{2} é igual a \mathrm{N}\cdot\mathrm{m}=\mathrm{J}.
  • Dividir por k para obter d^{2}: d^{2} = \dfrac{0{,}10}{750} = 0{,}000133333\ldots\\ \mathrm{m^{2}}.
  • Raiz quadrada: d = \sqrt{0{,}000133333\ldots} \approx 0{,}011547\\ \mathrm{m}.
  • Converter para centímetros (opcional, para intuição): d \approx 1{,}15\\ \mathrm{cm}.

Passo 5

Verificação física e interpretação rápida:
  • Unidade checada: a expressão resulta em metros, OK.
  • Interpretação: como não há atrito, a energia cinética inicial foi totalmente armazenada na mola no ponto de máxima compressão; por isso o bloco pára momentaneamente aí.
  • Resultado tem ordem de grandeza razoável: compressão pequena (alguns centímetros) condiz com mola relativamente rígida e velocidade pequena.

Resposta

\displaystyle d=0{,}0115\\ \mathrm{m}\approx1{,}15\\ \mathrm{cm}

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