1. Suponha que um carrinho de montanha-russa, de massa igual a 200 kg , esteja inicialmente parado a uma altura igual a 10 m em relação ao solo. Calcule a velocidade do carrinho ao passar pelo ponto mais baixo da montanha-russa (nível do solo). Despreze as forças dissipativas (atrito e resistência do ar). Resolver por conservação de energia mecânica.

Passo 1

O enunciado fornece os seguintes dados (escrevi exatamente os números que aparecem no problema):
  • Massa do carrinho: m=200\\ \mathrm{kg}.
  • Altura inicial em relação ao solo: h_i=10\\ \mathrm{m}.
  • O carrinho está inicialmente parado: v_i=0.
  • Ponto mais baixo (nível do solo): h_f=0\\ \mathrm{m}.
  • Desprezar forças dissipativas (atrito e resistência do ar).
    O que o problema pede:
  • Calcular a velocidade do carrinho ao passar pelo ponto mais baixo (ou seja, encontrar v_f).

Passo 2

O enunciado pediu para resolver por conservação de energia mecânica. Vou explicar passo a passo o que isso significa de forma bem clara e prática, como se estivéssemos estudando para a prova.
Conservação da energia mecânica (sem forças dissipativas) diz que a energia mecânica total inicial é igual à energia mecânica total final. A energia mecânica é a soma da energia potencial gravitacional e da energia cinética:
  • Energia potencial gravitacional: \,U = m g h\,. Aqui m é a massa (kg), g é a aceleração da gravidade (usamos g=9,8\\ \mathrm{m/s^{2}}), e h é a altura (m). A unidade é joule ( \mathrm{J}).
  • Energia cinética: \,K = \tfrac{1}{2} m v^{2}\,. Aqui v é a velocidade (m/s).
Importante: na prova, sempre identifique claramente as alturas e velocidades iniciais e finais e verifique unidades. Também é comum que a massa cancele quando se aplica a conservação de energia entre dois pontos, então muitas vezes a velocidade final não depende da massa — isso é um bom truque para lembrar em exercícios.

Passo 3

Escrevemos a equação da conservação da energia mecânica entre o estado inicial (altura h_i, velocidade v_i) e o estado final (altura h_f, velocidade v_f):
m g h_i + \tfrac{1}{2} m v_i^{2} = m g h_f + \tfrac{1}{2} m v_f^{2}.
Agora substituímos os valores que conhecemos: v_i=0 e h_f=0. Assim a equação fica
m g h_i + \tfrac{1}{2} m \cdot 0^{2} = m g \cdot 0 + \tfrac{1}{2} m v_f^{2},
ou simplificando,
m g h_i = \tfrac{1}{2} m v_f^{2}.

Passo 4

Observação útil: m aparece em todos os termos e é diferente de zero, então podemos cancelar m dos dois lados:
g h_i = \tfrac{1}{2} v_f^{2}.
Agora isolamos v_f^{2}:
v_f^{2} = 2 g h_i.
Tomando a raiz quadrada (e escolhendo o sinal positivo, já que velocidade escalar é positiva aqui),
v_f = \sqrt{2 g h_i}.

Passo 5

Substituímos os valores numéricos. Usando g=9,8\\ \mathrm{m/s^{2}} e h_i=10\\ \mathrm{m}:
v_f = \sqrt{2 \cdot 9,8 \cdot 10}.
Calculando o produto dentro da raiz:
2 \cdot 9,8 \cdot 10 = 196.
Portanto
v_f = \sqrt{196} = 14\\ \mathrm{m/s}.

Passo 6

Checagem rápida de unidades: dentro da raiz temos \mathrm{m/s^{2}}\times \mathrm{m} = \mathrm{m^{2}/s^{2}}; a raiz dá \mathrm{m/s}, que é unidade de velocidade — está consistente. Dica de prova: note que a massa cancelou, então para qualquer massa o resultado seria o mesmo; se houvesse atrito, seria preciso subtrair o trabalho das forças não-conservativas e a massa já não cancelaria necessariamente.

Resposta

\,14\\ \mathrm{m/s}

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