a) Mostre que y_{1}(x)=e^{-x} é uma solução dessa equação diferencial.
b) Usando redução de ordem, encontre uma segunda solução, y_{2}(x) da edo que seja fundamental com y_{1}(x).
b) Mostre que y_{1} e y_{2} são de fato fundamentais.
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial
(x+3)\,y''+(x+2)\,y'-y=0\quad\text{com }x>3,
e pede três coisas:
(a) Mostrar que y_{1}(x)=e^{-x} é uma solução dessa equação diferencial.
(b) Usando redução de ordem, encontrar uma segunda solução y_{2}(x) que, junto com y_{1}, formem um sistema fundamental de soluções.
(b) (novamente) Mostrar que y_{1} e y_{2} são, de fato, fundamentais (ou seja, linearmente independentes na região x>3).
Informações relevantes fornecidas:
A equação é homogênea e de segunda ordem.
O intervalo de interesse é x>3.
Uma solução conhecida é y_{1}(x)=e^{-x}.
Passo 2
Primeiro vamos checar diretamente que y_{1}(x)=e^{-x} satisfaz a equação (isto responde o item (a)). Para isso precisamos das derivadas:
Portanto y_{1}(x)=e^{-x} é de fato uma solução da equação diferencial. (Bom trabalho até aqui — já temos a primeira solução!)
Passo 3
Para usar redução de ordem é conveniente escrever a equação na forma padrão
y''+P(x)\,y'+Q(x)\,y=0.
Dividindo a equação original por x+3 (válido pois x+3>6 quando x>3), obtemos
y''+\frac{x+2}{x+3}\,y'-\frac{1}{x+3}\,y=0.
Logo podemos identificar
P(x)=\frac{x+2}{x+3},\qquad Q(x)=-\frac{1}{x+3}.
Vou agora explicar o método de redução de ordem de forma curta e prática: se y_{1} é uma solução conhecida, buscamos uma segunda solução da forma
y_{2}(x)=v(x)\,y_{1}(x),
onde v(x) é uma função a determinar. Substituindo y=v y_{1} na forma padrão e simplificando usando que y_{1} já satisfaz a equação, chega-se a uma equação de ordem reduzida para v. Há também uma fórmula direta útil (derivável a partir do procedimento):
Primeiro calculamos \displaystyle\int P(x)\,dx com P(x)=\dfrac{x+2}{x+3}. Para integrar, escrevemos a fração como soma mais simples:
\frac{x+2}{x+3}=1-\frac{1}{x+3},
pois (x+2)=(x+3)-1. Assim
\int P(x)\,dx=\int\left(1-\frac{1}{x+3}\right)dx = x-\ln|x+3| + C.
Como estamos em x>3, podemos omitir as barras do valor absoluto e escolher a constante de integração convenientemente (ela só introduz um fator multiplicativo que podemos absorver depois). Então tomamos
Para x>3 temos x+3>6 e e^{-x}>0, logo W(y_{1},y_{2})(x)\neq 0 em todo o intervalo x>3. Como o Wronskiano não se anula nesse intervalo, as funções são linearmente independentes ali, e portanto formam uma base (conjunto fundamental) de soluções da equação homogênea em x>3.]
Passo 9
Resumo lógico final (fechando os pontos pedidos):
Mostramos que y_{1}(x)=e^{-x} é solução.
Usando redução de ordem (fórmula apropriada) encontramos y_{2}(x)=x+2.
Calculamos o Wronskiano W(y_{1},y_{2})(x)=(x+3)e^{-x} e vimos que ele é não nulo para x>3, portanto y_{1} e y_{2} são linearmente independentes e formam um par fundamental de soluções no intervalo x>3.
Resposta
(a) y_{1}(x)=e^{-x} é solução.
(b) y_{2}(x)=x+2.
(b) y_{1} e y_{2} são fundamentais, pois W(y_{1},y_{2})(x)=(x+3)e^{-x}\neq 0 para x>3.