Considere a equação diferencial
(x+3) y^{\prime \prime}+(x+2) y^{\prime}-y=0 \quad \text { com } x>3 .
a) Mostre que y_{1}(x)=e^{-x} é uma solução dessa equação diferencial.
b) Usando redução de ordem, encontre uma segunda solução, y_{2}(x) da edo que seja fundamental com y_{1}(x).
b) Mostre que y_{1} e y_{2} são de fato fundamentais.

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
(x+3)\,y''+(x+2)\,y'-y=0\quad\text{com }x>3,
e pede três coisas:
  • (a) Mostrar que y_{1}(x)=e^{-x} é uma solução dessa equação diferencial.
  • (b) Usando redução de ordem, encontrar uma segunda solução y_{2}(x) que, junto com y_{1}, formem um sistema fundamental de soluções.
  • (b) (novamente) Mostrar que y_{1} e y_{2} são, de fato, fundamentais (ou seja, linearmente independentes na região x>3).
Informações relevantes fornecidas:
  • A equação é homogênea e de segunda ordem.
  • O intervalo de interesse é x>3.
  • Uma solução conhecida é y_{1}(x)=e^{-x}.

Passo 2

Primeiro vamos checar diretamente que y_{1}(x)=e^{-x} satisfaz a equação (isto responde o item (a)). Para isso precisamos das derivadas:
y_{1}(x)=e^{-x},\qquad y_{1}'(x)=-e^{-x},\qquad y_{1}''(x)=e^{-x}.
Agora substituímos essas expressões na equação dada:
(x+3)\,y_{1}''+(x+2)\,y_{1}'-y_{1} =(x+3)e^{-x}+(x+2)(-e^{-x})-e^{-x}.
Fatorando e^{-x}:
e^{-x}\big[(x+3)-(x+2)-1\big]=e^{-x}\big[x+3-x-2-1\big]=e^{-x}\cdot 0=0.
Portanto y_{1}(x)=e^{-x} é de fato uma solução da equação diferencial. (Bom trabalho até aqui — já temos a primeira solução!)

Passo 3

Para usar redução de ordem é conveniente escrever a equação na forma padrão
y''+P(x)\,y'+Q(x)\,y=0.
Dividindo a equação original por x+3 (válido pois x+3>6 quando x>3), obtemos
y''+\frac{x+2}{x+3}\,y'-\frac{1}{x+3}\,y=0.
Logo podemos identificar
P(x)=\frac{x+2}{x+3},\qquad Q(x)=-\frac{1}{x+3}.
Vou agora explicar o método de redução de ordem de forma curta e prática: se y_{1} é uma solução conhecida, buscamos uma segunda solução da forma
y_{2}(x)=v(x)\,y_{1}(x),
onde v(x) é uma função a determinar. Substituindo y=v y_{1} na forma padrão e simplificando usando que y_{1} já satisfaz a equação, chega-se a uma equação de ordem reduzida para v. Há também uma fórmula direta útil (derivável a partir do procedimento):
y_{2}(x)=y_{1}(x)\int \frac{e^{-\int P(x)\,dx}}{y_{1}(x)^{2}}\,dx.
Essa fórmula é um jeito rápido de obter y_{2} sem resolver equações diferenciais adicionais; abaixo eu aplico essa fórmula passo a passo.

Passo 4

Vamos aplicar a fórmula
y_{2}(x)=y_{1}(x)\int \frac{e^{-\int P(x)\,dx}}{y_{1}(x)^{2}}\,dx.
Primeiro calculamos \displaystyle\int P(x)\,dx com P(x)=\dfrac{x+2}{x+3}. Para integrar, escrevemos a fração como soma mais simples:
\frac{x+2}{x+3}=1-\frac{1}{x+3},
pois (x+2)=(x+3)-1. Assim
\int P(x)\,dx=\int\left(1-\frac{1}{x+3}\right)dx = x-\ln|x+3| + C.
Como estamos em x>3, podemos omitir as barras do valor absoluto e escolher a constante de integração convenientemente (ela só introduz um fator multiplicativo que podemos absorver depois). Então tomamos
\int P(x)\,dx = x-\ln(x+3).

Passo 5

Agora computamos o fator e^{-\int P(x)\,dx}:
e^{-\int P(x)\,dx}=e^{-x+\ln(x+3)}=(x+3)e^{-x}.
Em seguida, formamos a integranda da fórmula:
\frac{e^{-\int P(x)\,dx}}{y_{1}(x)^{2}} =\frac{(x+3)e^{-x}}{\big(e^{-x}\big)^{2}} =(x+3)e^{x}.
Então precisamos calcular a integral
\int (x+3)e^{x}\,dx.
Integramos em partes ou usando fórmula conhecida:
\int x e^{x}\,dx=(x-1)e^{x}+C, \qquad \int e^{x}\,dx=e^{x}+C.
Portanto
\int (x+3)e^{x}\,dx=(x-1)e^{x}+3e^{x}=(x+2)e^{x}+C.

Passo 6

Agora multiplicamos pelo fator y_{1}(x)=e^{-x} para obter y_{2}:
y_{2}(x)=y_{1}(x)\cdot\big[(x+2)e^{x}\big] =e^{-x}\cdot(x+2)e^{x}=x+2.
Tomando a constante de integração adequada podemos escolher essa forma simples. Assim uma segunda solução obtida por redução de ordem é
y_{2}(x)=x+2.

Passo 7

Verificação direta de que y_{2}(x)=x+2 é solução (cheque rápido, sempre bom confirmar): derivadas
y_{2}'(x)=1,\qquad y_{2}''(x)=0.
Substituindo na equação original:
(x+3)\cdot 0+(x+2)\cdot 1-(x+2)=0,
o que confirma que y_{2} satisfaz a equação.

Passo 8

Agora precisamos mostrar que y_{1} e y_{2} são fundamentais, isto é, linearmente independentes em x>3. A forma prática é calcular o Wronskiano
W(y_{1},y_{2})(x)= \begin{vmatrix} y_{1} & y_{2}\\[4pt] y_{1}' & y_{2}' \end{vmatrix} = y_{1}y_{2}'-y_{2}y_{1}'.
Substituindo y_{1}=e^{-x}, y_{1}'=-e^{-x}, y_{2}=x+2, y_{2}'=1, obtemos
W(y_{1},y_{2})(x)=e^{-x}\cdot 1-(x+2)(-e^{-x})=(x+3)e^{-x}.
Para x>3 temos x+3>6 e e^{-x}>0, logo W(y_{1},y_{2})(x)\neq 0 em todo o intervalo x>3. Como o Wronskiano não se anula nesse intervalo, as funções são linearmente independentes ali, e portanto formam uma base (conjunto fundamental) de soluções da equação homogênea em x>3.]

Passo 9

Resumo lógico final (fechando os pontos pedidos):
  • Mostramos que y_{1}(x)=e^{-x} é solução.
  • Usando redução de ordem (fórmula apropriada) encontramos y_{2}(x)=x+2.
  • Calculamos o Wronskiano W(y_{1},y_{2})(x)=(x+3)e^{-x} e vimos que ele é não nulo para x>3, portanto y_{1} e y_{2} são linearmente independentes e formam um par fundamental de soluções no intervalo x>3.

Resposta

(a) y_{1}(x)=e^{-x} é solução.
(b) y_{2}(x)=x+2.
(b) y_{1} e y_{2} são fundamentais, pois W(y_{1},y_{2})(x)=(x+3)e^{-x}\neq 0 para x>3.

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