Resolva EDO:
y^{\prime \prime}+y^{\prime}-2 y=e^{t} .

Passo 1

O que o problema pede e o que temos:
  • É dada a equação diferencial ordinária linear de segunda ordem não homogênea y^{\prime\prime}+y^{\prime}-2y=e^{t}.
  • O pedido implícito é achar a solução geral y(t) desta EDO, ou seja, a solução complementar (da homogênea) somada a uma solução particular.
  • Informação importante: o segundo membro é a função exponencial \,e^{t}\,, que geralmente sugere o método dos coeficientes indeterminados.

Passo 2

Resolver a equação homogênea associada (para obter a solução complementar). A homogênea é y^{\prime\prime}+y^{\prime}-2y=0.
Procuramos soluções do tipo y=e^{rt}. Substituindo na homogênea obtemos a equação característica r^{2}+r-2=0.
Resolvendo a quadrática: aplicar fórmula de Bhaskara ou fatorar. Fatora-se porque os coeficientes são simples: r^{2}+r-2=(r+2)(r-1)=0.
Portanto as raízes são r_{1}=1,\qquad r_{2}=-2.
Como são duas raízes reais e distintas, a solução complementar (solução da homogênea) é y_{c}(t)=C_{1}e^{t}+C_{2}e^{-2t}, onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias.

Passo 3

Escolher um ansatz (palpite) para a solução particular usando coeficientes indeterminados.
  • O termo não-homogêneo é \,e^{t}\,. Normalmente tentaríamos um particular do tipo A e^{t}.
  • Porém \,e^{t}\, já é solução da homogênea (porque r=1 é raiz), então há ressonância e é necessário multiplicar por t para obter um palpite independente.
  • Logo tentamos um particular da forma y_{p}(t)=A\,t\,e^{t}, onde A é uma constante a determinar.

Passo 4

Calcular as derivadas de y_{p} (faça com calma; usar a regra do produto).
  • Primeiro, \,y_{p}(t)=A\,t\,e^{t}.
  • Derivando uma vez: usar \dfrac{d}{dt}(t e^{t})=e^{t}(t+1). Portanto y_{p}^{\prime}(t)=A\,e^{t}(t+1).
  • Derivando de novo: derivada de e^{t}(t+1) é e^{t}(t+1)+e^{t}=e^{t}(t+2). Então y_{p}^{\prime\prime}(t)=A\,e^{t}(t+2).

Passo 5

Substituir y_{p}, y_{p}^{\prime} e y_{p}^{\prime\prime} na equação diferencial para determinar A.
Substituição na esquerda: y_{p}^{\prime\prime}+y_{p}^{\prime}-2y_{p} = A\,e^{t}(t+2) + A\,e^{t}(t+1) -2A\,t\,e^{t}.
Fatorando A\,e^{t}: A\,e^{t}\bigl((t+2)+(t+1)-2t\bigr) = A\,e^{t}\bigl(t+2+t+1-2t\bigr) = A\,e^{t}\cdot 3.
Assim obtemos y_{p}^{\prime\prime}+y_{p}^{\prime}-2y_{p}=3A\,e^{t}.
Esta expressão deve ser igual ao lado direito da EDO, que é e^{t}. Logo 3A\,e^{t}=e^{t}.
Cancelando e^{t} (não é zero), vem 3A=1\quad\Rightarrow\quad A=\tfrac{1}{3}.

Passo 6

Escrever a solução particular encontrada e a solução geral.
  • A solução particular é y_{p}(t)=\tfrac{1}{3}\,t\,e^{t}.
  • A solução geral da EDO é a soma da complementar com a particular: y(t)=y_{c}(t)+y_{p}(t)=C_{1}e^{t}+C_{2}e^{-2t}+\tfrac{1}{3}\,t\,e^{t}, onde C_{1},C_{2} são constantes arbitrárias que seriam fixadas por condições iniciais, se houvesse.

Passo 7

Verificação rápida (sanidade): se desejado, pode-se derivar a solução geral e substituir de volta na equação original para confirmar que a igualdade é satisfeita. A construção pelo método dos coeficientes indeterminados garante que a parte particular compensa exatamente o termo e^{t}.

Resposta

y(t)=C_{1}e^{t}+C_{2}e^{-2t}+\dfrac{1}{3}\,t\,e^{t}

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