Resolva EDO:
Passo 1
O que o problema pede e o que temos:
- É dada a equação diferencial ordinária linear de segunda ordem não homogênea
- O pedido implícito é achar a solução geral
desta EDO, ou seja, a solução complementar (da homogênea) somada a uma solução particular. - Informação importante: o segundo membro é a função exponencial
, que geralmente sugere o método dos coeficientes indeterminados.
Passo 2
Resolver a equação homogênea associada (para obter a solução complementar). A homogênea é
Procuramos soluções do tipo
. Substituindo na homogênea obtemos a equação característica
Resolvendo a quadrática: aplicar fórmula de Bhaskara ou fatorar. Fatora-se porque os coeficientes são simples:
Portanto as raízes são
Como são duas raízes reais e distintas, a solução complementar (solução da homogênea) é
onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 3
Escolher um ansatz (palpite) para a solução particular usando coeficientes indeterminados.
- O termo não-homogêneo é
. Normalmente tentaríamos um particular do tipo . - Porém
já é solução da homogênea (porque é raiz), então há ressonância e é necessário multiplicar por para obter um palpite independente. - Logo tentamos um particular da forma
onde é uma constante a determinar.
Passo 4
Calcular as derivadas de
(faça com calma; usar a regra do produto).
- Primeiro,
. - Derivando uma vez: usar
. Portanto - Derivando de novo: derivada de
é . Então
Passo 5
Substituir
,
e
na equação diferencial para determinar
.
Substituição na esquerda:
Fatorando
:
Assim obtemos
Esta expressão deve ser igual ao lado direito da EDO, que é
. Logo
Cancelando
(não é zero), vem
Passo 6
Escrever a solução particular encontrada e a solução geral.
- A solução particular é
- A solução geral da EDO é a soma da complementar com a particular:
onde são constantes arbitrárias que seriam fixadas por condições iniciais, se houvesse.
Passo 7
Verificação rápida (sanidade): se desejado, pode-se derivar a solução geral e substituir de volta na equação original para confirmar que a igualdade é satisfeita. A construção pelo método dos coeficientes indeterminados garante que a parte particular compensa exatamente o termo
.