10- Determinar a vazão específica
e a velocidade média do escoamento bidimensional abaixo, de profundidade
, cuja distribuição de velocidades segue a lei
Onde
é a velocidade de
, na superfície livre e
a distância da superfície livre ao ponto onde a velocidade é v
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado pede e todas as informações dadas (peguei estes dados do enunciado e da figura):
- O enunciado pede:
- Determinar a vazão específica
(vazão por unidade de largura, ou seja, descarga bidimensional). - Determinar a velocidade média do escoamento
.
- Determinar a vazão específica
- Dados fornecidos:
- Profundidade total:
. - Lei da velocidade em função da distância
medida a partir da superfície livre: - Velocidade máxima na superfície livre:
.
- Profundidade total:
- Observação sobre
: varia de (superfície livre) até (fundo).
Passo 2
Entendendo o que é a vazão específica
e como calculá-la:
- Em escoamento bidimensional (por unidade de largura), a vazão específica
é a integral das velocidades ao longo da profundidade. Isso porque a área de uma faixa infinitesimal é (largura unitária). - Logo, a definição é
- Explicando a integral de forma simples: soma contínua das contribuições
de cada camada horizontal infinitesimal da lâmina de água, de até .
Passo 3
Substituir a lei de velocidades dentro da integral e escrever a integral explícita:
Como
e
são constantes, pode-se retirar
para fora da integral:
Passo 4
Calcular as integrais elementares passo a passo:
- Primeiro integral:
. - Segundo integral:
. - Substituindo:
Portanto a expressão analítica geral é
Passo 5
Substituir os valores numéricos dados (
e
) para obter a vazão específica numérica:
Passo 6
Calcular a velocidade média
:
- Definição de velocidade média ao longo da profundidade:
. - Como
, tem-se
- Substituindo
:
Passo 7
Checagem rápida e interpretação física:
- A velocidade média
é menor que , o que faz sentido porque a velocidade diminui com a profundidade. - A vazão específica
significa que, por cada metro de largura, passam .