10- Determinar a vazão específica q e a velocidade média do escoamento bidimensional abaixo, de profundidade H=2 \mathrm{~m}, cuja distribuição de velocidades segue a lei
v=v_{\operatorname{máx}}\left[1-\left(\frac{n}{H}\right)^{2}\right],
Onde v_{\text {máx }}á é a velocidade de 3 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, na superfície livre e n a distância da superfície livre ao ponto onde a velocidade é v
v_{\text {máx }}=3 \mathrm{~m} / \mathrm{s}á

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado pede e todas as informações dadas (peguei estes dados do enunciado e da figura):
  • O enunciado pede:
    • Determinar a vazão específica q (vazão por unidade de largura, ou seja, descarga bidimensional).
    • Determinar a velocidade média do escoamento \bar{v}.
  • Dados fornecidos:
    • Profundidade total: H=2\\ \mathrm{m}.
    • Lei da velocidade em função da distância n medida a partir da superfície livre: v = v_{\max}\left[1-\left(\frac{n}{H}\right)^{2}\right].
    • Velocidade máxima na superfície livre: v_{\max}=3\\ \mathrm{m/s}.
  • Observação sobre n: n varia de 0 (superfície livre) até H (fundo).

Passo 2

Entendendo o que é a vazão específica q e como calculá-la:
  • Em escoamento bidimensional (por unidade de largura), a vazão específica q é a integral das velocidades ao longo da profundidade. Isso porque a área de uma faixa infinitesimal é \mathrm{d}A = 1\cdot \mathrm{d}n (largura unitária).
  • Logo, a definição é
q = \int_{0}^{H} v(n)\,\mathrm{d}n.
  • Explicando a integral de forma simples: soma contínua das contribuições (v\cdot \mathrm{d}n) de cada camada horizontal infinitesimal da lâmina de água, de n=0 até n=H.

Passo 3

Substituir a lei de velocidades dentro da integral e escrever a integral explícita:
q = \int_{0}^{H} v_{\max}\left[1-\left(\frac{n}{H}\right)^{2}\right]\mathrm{d}n.
Como v_{\max} e H são constantes, pode-se retirar v_{\max} para fora da integral:
q = v_{\max}\int_{0}^{H}\left[1-\frac{n^{2}}{H^{2}}\right]\mathrm{d}n = v_{\max}\left(\int_{0}^{H}1\,\mathrm{d}n - \frac{1}{H^{2}}\int_{0}^{H}n^{2}\,\mathrm{d}n\right).

Passo 4

Calcular as integrais elementares passo a passo:
  • Primeiro integral: \displaystyle \int_{0}^{H}1\,\mathrm{d}n = H.
  • Segundo integral: \displaystyle \int_{0}^{H}n^{2}\,\mathrm{d}n = \left[\frac{n^{3}}{3}\right]_{0}^{H} = \frac{H^{3}}{3}.
  • Substituindo:
q = v_{\max}\left(H - \frac{1}{H^{2}}\cdot\frac{H^{3}}{3}\right) = v_{\max}\left(H - \frac{H}{3}\right) = v_{\max}\cdot\frac{2H}{3}.
Portanto a expressão analítica geral é
q = \frac{2}{3}\,v_{\max}\,H.

Passo 5

Substituir os valores numéricos dados ( v_{\max}=3\\ \mathrm{m/s} e H=2\\ \mathrm{m}) para obter a vazão específica numérica:
q = \frac{2}{3}\cdot 3\\ \mathrm{m/s}\cdot 2\\ \mathrm{m} = \frac{2}{3}\cdot 6\\ \mathrm{m^{2}/s} = 4\\ \mathrm{m^{2}/s}.

Passo 6

Calcular a velocidade média \bar{v}:
  • Definição de velocidade média ao longo da profundidade: \displaystyle \bar{v}=\frac{1}{H}\int_{0}^{H}v(n)\,\mathrm{d}n.
  • Como \displaystyle \frac{1}{H}\int_{0}^{H}v\,\mathrm{d}n=\frac{q}{H}, tem-se
\bar{v}=\frac{q}{H}=\frac{\tfrac{2}{3}v_{\max}H}{H}=\frac{2}{3}v_{\max}.
  • Substituindo v_{\max}=3\\ \mathrm{m/s}:
\bar{v}=\frac{2}{3}\cdot 3\\ \mathrm{m/s}=2\\ \mathrm{m/s}.

Passo 7

Checagem rápida e interpretação física:
  • A velocidade média 2\\ \mathrm{m/s} é menor que v_{\max}=3\\ \mathrm{m/s}, o que faz sentido porque a velocidade diminui com a profundidade.
  • A vazão específica q=4\\ \mathrm{m^{2}/s} significa que, por cada metro de largura, passam 4\\ \mathrm{m^{3}/s}.

Resposta

q = 4\\ \mathrm{m^{2}/s}
\bar{v} = 2\\ \mathrm{m/s}

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