Em uma empresa existem 500 metros de linha de vapor a 150^{\circ} \mathrm{C}, com diâmetro externo de 0,1 \mathrm{~m}, sem isolamento térmico, em um ambiente fechado a 30^{\circ} \mathrm{C}. O vapor estava sendo gerado a partir da queima de lenha que produzia energia a baixo custo, porém causando grandes danos ambientais. Diante disso, esse processo foi substituído por um sistema de gás natural adaptado à caldeira que polui menos e ainda apresenta vantagens no custo do kWh .
Objetivando a racionalização de energia nessa empresa, propõe-se o isolamento da tubulação a partir de uma análise dos custos envolvidos. Para tanto, considere um coeficiente de transferência convectiva de calor h=7 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} . \mathrm{K} entre a tubulação e o ar ambiente. Despreze as resistências térmicas por convecção interna e condução na parede da tubulação e suponha que as temperaturas das paredes internas do recinto sejam iguais 27^{\circ} \mathrm{C}.
a) cite dois fatores importantes que devem ser considerados na seleção de um isolante térmico;
b) determine a economia de energia diária, em Joules, que pode ser obtida isolando-se a tubulação com uma camada de 0,05 \mathrm{~m} de lã de vidro (\mathrm{k}=0,04 \mathrm{~W} / \mathrm{m} . \mathrm{K}). Despreze trocas térmicas radiativas entre o isolante e o ambiente e considere o coeficiente de convecção \mathrm{h}=3,5 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} . \mathrm{K};
c) O orçamento para a colocação do isolamento térmico é de \mathrm{R} \ 60.000,00 e o custo do kWh éé\mathrm{R} $0,10$. Calcule o tempo de amortização do investimento.
Dados / Informações adicionais:
\mathrm{K}={ }^{\circ} \mathrm{C}+273
Emissividade da parede externa da tubulação: \varepsilon=0,9
Constante de Steffan-Boltzmann: \sigma=5,67 \times 10-8 \mathrm{~W} / \mathrm{m} 2 . \mathrm{K}

Passo 1

O enunciado fornece (peguei todos estes valores do enunciado):
  • Comprimento da tubulação: L=500\\ \mathrm{m}.
  • Temperatura do vapor (tubulação): T_s=150^\circ\mathrm{C}.
  • Diâmetro externo da tubulação: D=0,1\\ \mathrm{m} (logo raio externo da tubulação sem isolante r_p=0,05\\ \mathrm{m}).
  • Ambiente fechado a T_\infty=30^\circ\mathrm{C}.
  • Inicialmente, coeficiente de convecção entre tubulação e ar: h_{\text{sem}}=7\\ \mathrm{W/(m^2\cdot K)} (para a tubulação sem isolamento).
  • Para o caso com isolamento, espessura do isolante: t=0,05\\ \mathrm{m} e condutividade térmica da lã de vidro: k=0,04\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}.
  • Para o caso com isolamento, usar coeficiente de convecção externo h_{\text{com}}=3{,}5\\ \mathrm{W/(m^2\cdot K)}.
  • Desprezar trocas radiativas no item (b) (logo emissividade e \sigma não serão usadas).
    O que o enunciado pede:
    (a) citar dois fatores importantes na seleção de um isolante térmico;
    (b) determinar a economia de energia diária, em joules, obtida ao colocar camada de 0,05\\ \mathrm{m} de lã de vidro;
    (c) calcular o tempo de amortização do investimento de R$ 60.000{,}00, dado o custo de 1\\ \mathrm{kWh}= R$ 0{,}10.

Passo 2

Entendendo e calculando a perda de calor sem isolamento (primeiro caso).
Conceito e fórmula: a perda de calor por convecção sobre a superfície externa de um cilindro é dada por
\dot{Q} = h\,A\,(T_s-T_\infty),
onde h é o coeficiente de convecção (em \mathrm{W/(m^2\cdot K)}), A é a área de troca (em \mathrm{m^2}), e (T_s-T_\infty) é a diferença de temperatura (em K). Lembrete: diferença em ^\circ\mathrm{C} é numericamente igual a diferença em K, então posso usar direto 150-30.
A área lateral de um cilindro é
A = \pi D L = 2\pi r L.
Calculemos os números:
A_{\text{sem}} = \pi\cdot(0,1)\cdot 500 = 50\pi\\ \mathrm{m^2}.
Diferença de temperatura:
\Delta T_{\text{sem}} = 150-30 = 120\\ \mathrm{K}.
Portanto a taxa de perda de calor sem isolamento é
\dot{Q}_{\text{sem}} = h_{\text{sem}}\,A_{\text{sem}}\,\Delta T_{\text{sem}} = 7\cdot(50\pi)\cdot 120 = 42\,000\pi\\ \mathrm{W}.
Valor numérico:
\dot{Q}_{\text{sem}}\approx 42\,000\cdot 3{,}14159 \approx 131\,947\\ \mathrm{W}.
Interpretação: sem isolamento a tubulação perde cerca de 1,32\times 10^{5}\\ \mathrm{W} continuamente.

Passo 3

Perda de calor com isolamento (segundo caso): resistência térmica em série (condução radial pelo isolante cilíndrico + convecção externa).
Modelagem e fórmulas:
  • Resistência por condução em casca cilíndrica (isolante) é
R_{\text{cond}}=\frac{1}{2\pi k L}\ln\!\left(\frac{r_o}{r_i}\right),
onde r_i é o raio interno do isolante (ou raio externo da tubulação) e r_o é o raio externo do isolante.
  • Resistência por convecção externa é
R_{\text{conv}}=\frac{1}{h_{\text{com}}\,A_o},
onde A_o=2\pi r_o L é a área externa do isolante.
A taxa de calor então é
\dot{Q}_{\text{com}}=\frac{T_s-T_\infty}{R_{\text{cond}}+R_{\text{conv}}}.
Agora os valores geométricos:
r_i=r_p=0,05\\ \mathrm{m},\qquad r_o=r_i+t=0,05+0,05=0,10\\ \mathrm{m}.
Calcule R_{\text{cond}}:
R_{\text{cond}}=\frac{1}{2\pi\cdot 0{,}04\cdot 500}\ln\!\left(\frac{0{,}10}{0{,}05}\right) =\frac{1}{40\pi}\ln(2).
Numérico:
R_{\text{cond}}\approx\frac{0{,}693147}{125{,}6637}\approx 0{,}00551796\\ \mathrm{K/W}.
Calcule R_{\text{conv}}:
A_o=2\pi r_o L=2\pi\cdot 0{,}10\cdot 500=100\pi\\ \mathrm{m^2},
R_{\text{conv}}=\frac{1}{h_{\text{com}}A_o}=\frac{1}{3{,}5\cdot 100\pi}=\frac{1}{350\pi}\approx 0{,}00090986\\ \mathrm{K/W}.
Resistência total:
R_{\text{tot}}=R_{\text{cond}}+R_{\text{conv}}\approx 0{,}00551796+0{,}00090986\approx 0{,}00642782\\ \mathrm{K/W}.
Agora a potência com isolamento:
\dot{Q}_{\text{com}}=\frac{120}{0{,}00642782}\approx 18\,672{,}5\\ \mathrm{W}.
Interpretação: com a camada de lã de vidro a perda cai para cerca de 1,87\times 10^{4}\\ \mathrm{W}.

Passo 4

Economia de potência e energia diária.
Diferença de potência (economia instantânea):
\dot{Q}_{\text{economia}}=\dot{Q}_{\text{sem}}-\dot{Q}_{\text{com}}\approx 131\,946{,}9-18\,672{,}5\approx 113\,274{,}4\\ \mathrm{W}.
Energia economizada por dia (usar 1\\ \mathrm{dia}=86\,400\\ \mathrm{s}):
E_{\text{dia}}=\dot{Q}_{\text{economia}}\times 86\,400 \approx 113\,274{,}4\cdot 86\,400 \approx 9{,}786{,}905{,}050\\ \mathrm{J}.
Arredondando com divulgação prática:
E_{\text{dia}}\approx 9{,}79\times 10^{9}\\ \mathrm{J/dia}.

Passo 5

Converter economia diária para kWh e calcular tempo de amortização.
Conversão:
1\\ \mathrm{kWh}=3{,}6\times 10^{6}\\ \mathrm{J},
E_{\text{kWh/dia}}=\frac{E_{\text{dia}}}{3{,}6\times 10^{6}}\approx \frac{9{,}786{,}905{,}050}{3{,}600{,}000}\approx 2{,}718{,}0\\ \mathrm{kWh/dia}.
Valor economizado por dia (custo 0{,}10\\ \mathrm{R\$}/\mathrm{kWh}):
\text{Economia diária (R\$)}=2{,}718{,}0\cdot 0{,}10\approx 271{,}80\\ \mathrm{R\$ / dia}.á
Tempo de amortização do investimento de R$ 60{,}000:
t=\frac{60\,000}{271{,}80}\approx 220{,}8\\ \mathrm{dias}\approx 7{,}3\\ \mathrm{meses}.

Resposta

(a) Condutividade térmica do isolante (quanto menor, melhor) e resistência do isolante à umidade/estabilidade térmica (temperatura máxima de serviço e durabilidade).
(b) E_{\text{dia}}\approx 9{,}79\times 10^{9}\\ \mathrm{J/dia}.
(c) Tempo de amortização \approx 221\\ \mathrm{dias} (aprox. 7{,}3 meses).

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