Os coeficientes de transferência de calor para o fluxo de ar a
sobre uma esfera com 1,25 cm de diâmetro são medidos, pela observação do histórico temperaturatempo de uma esfera de cobre (
e
), por 2 termopares, um localizado no centro e outro próximo a superfície. Os dois registraram, dentro da precisão dos instrumentos de precisão, a mesma temperatura em qualquer instante determinado. Em uma execução de teste, a temperatura inicial da esfera era de
e diminuiu
em 1,15 minutos. Calcule o coeficiente de transferência de calor para esse caso. Resposta:
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
-
Dados do problema (pego do enunciado):
- Temperatura do ar (ambiente):
- Diâmetro da esfera:
- Material: cobre, com
- capacidade térmica específica:
- massa volúmica (densidade):
- capacidade térmica específica:
- Medição: termopar no centro e outro próximo à superfície registraram a mesma temperatura a cada instante → isso indica que a esfera tem temperatura praticamente uniforme durante o resfriamento (degrau espacial desprezível).
- Condição inicial:
- Após
minutos a temperatura diminuiu , ou seja: - tempo decorrido:
- temperatura no instante
:
- tempo decorrido:
- Temperatura do ar (ambiente):
-
Pedido:
- Calcular o coeficiente de transferência de calor por convecção
(unidades ) para esse caso.
- Calcular o coeficiente de transferência de calor por convecção
Passo 2
Por que usar o modelo de capacidade concentrada (lumped capacitance) e qual é a fórmula que vamos aplicar
-
Observação física: os dois termopares (centro e perto da superfície) registraram a mesma temperatura a cada instante. Isso significa que os gradientes internos de temperatura na esfera são negligenciáveis — condição típica para aplicar o método de capacidade concentrada (lumped capacitance). Não vamos assumir isso sem justificativa; o fato experimental dado já justifica.
-
Ideia do método: quando um corpo tem temperatura praticamente uniforme
em todo o seu volume, a equação de balanço térmico é onde-
é a massa da esfera ( ), -
é a capacidade térmica específica ( ), -
é o coeficiente convectivo que queremos ( ), -
é a área de superfície ( ), -
é a temperatura ambiente ( ou , a diferença de temperatura é a mesma).
-
-
Solução da EDO (resfriamento exponencial): resolvendo a equação resulta
-
Para uma esfera temos fórmulas geométricas:PortantoSubstituindo em cima, o expoente ficaAssim a relação útil para extrair
é Isolando:
Passo 3
Determinar os valores numéricos a inserir na fórmula (calcule tudo passo a passo)
-
raio da esfera:
-
diferenças de temperatura:
-
razão adimensional (temperatura reduzida):Vamos simplificar a fração:
-
logaritmo natural da razão:(mostrei o valor aproximado do ln; é negativo porque a razão é menor que 1).
Passo 4
Calcular o termo
e o fator multiplicativo
-
produto
: -
multiplicando por
: -
denominador
: -
portanto o fator é(unidade consistente:
dividido por produz o fator que multiplicará um número adimensional para dar em , já que .)
Passo 5
Calcular
usando a fórmula e os números obtidos
-
Aplicandosubstituindo valores:
-
Portanto
Passo 6
Verificação de consistência (Biot number) e comentário pedagógico
- É sempre bom checar se a hipótese de temperatura uniforme (lumped capacitance) é razoável. O número de Biot é
onde é o comprimento característico volumétrico-superfície para esfera, e é a condutividade térmica do material. O enunciado não forneceu , mas para cobre típico toma-se . Usando esse valor:
Como
, a hipótese de temperatura praticamente uniforme dentro da esfera está rigorosamente validada — ótimo, o método é consistente.
- Comentário final: com os dados fornecidos e as propriedades do cobre indicadas no enunciado, o cálculo direto pelo método de “lumped capacitance” dá
. Se houver discrepância com algum resultado esperado (por exemplo o valor que foi informado), a origem provável seria diferenças nas constantes usadas (por exemplo outro valor de ou , arredondamentos, ou interpretação do tempo), mas o procedimento e as fórmulas demonstradas aqui são as que se aplicam.