Os coeficientes de transferência de calor para o fluxo de ar a 26,6^{\circ} \mathrm{C} sobre uma esfera com 1,25 cm de diâmetro são medidos, pela observação do histórico temperaturatempo de uma esfera de cobre ( \mathrm{c}=376 \mathrm{~J} / \mathrm{kg} . \mathrm{K} e \rho=8928 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} ), por 2 termopares, um localizado no centro e outro próximo a superfície. Os dois registraram, dentro da precisão dos instrumentos de precisão, a mesma temperatura em qualquer instante determinado. Em uma execução de teste, a temperatura inicial da esfera era de 60{ }^{\circ} \mathrm{C} e diminuiu 7^{\circ} \mathrm{C} em 1,15 minutos. Calcule o coeficiente de transferência de calor para esse caso. Resposta: \mathbf{1 9 , 8 2 6 ~ W} / \mathbf{m}^{\mathbf{2}} . \mathbf{K}

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Dados do problema (pego do enunciado):
    • Temperatura do ar (ambiente): \;T_\infty = 26{,}6^\circ\mathrm{C}.
    • Diâmetro da esfera: \;D = 1{,}25\\ \mathrm{cm} = 0{,}0125\\ \mathrm{m}.
    • Material: cobre, com
      • capacidade térmica específica: \;c = 376\\ \mathrm{J}/\mathrm{kg}\cdot\mathrm{K}.
      • massa volúmica (densidade): \;\rho = 8928\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3.
    • Medição: termopar no centro e outro próximo à superfície registraram a mesma temperatura a cada instante → isso indica que a esfera tem temperatura praticamente uniforme durante o resfriamento (degrau espacial desprezível).
    • Condição inicial: \;T_i = 60^\circ\mathrm{C}.
    • Após 1{,}15 minutos a temperatura diminuiu 7^\circ\mathrm{C}, ou seja:
      • tempo decorrido: \;t = 1{,}15\\ \mathrm{min} = 69\\ \mathrm{s}.
      • temperatura no instante t: \;T(t)=60-7=53^\circ\mathrm{C}.
  • Pedido:
    • Calcular o coeficiente de transferência de calor por convecção h (unidades \mathrm{W}/\mathrm{m}^2\cdot\mathrm{K}) para esse caso.

Passo 2

Por que usar o modelo de capacidade concentrada (lumped capacitance) e qual é a fórmula que vamos aplicar
  • Observação física: os dois termopares (centro e perto da superfície) registraram a mesma temperatura a cada instante. Isso significa que os gradientes internos de temperatura na esfera são negligenciáveis — condição típica para aplicar o método de capacidade concentrada (lumped capacitance). Não vamos assumir isso sem justificativa; o fato experimental dado já justifica.
  • Ideia do método: quando um corpo tem temperatura praticamente uniforme T(t) em todo o seu volume, a equação de balanço térmico é
    m c \frac{dT}{dt} = -h A \bigl(T(t)-T_\infty\bigr),
    onde
    • m é a massa da esfera ( \mathrm{kg}),
    • c é a capacidade térmica específica ( \mathrm{J}/\mathrm{kg}\cdot\mathrm{K}),
    • h é o coeficiente convectivo que queremos ( \mathrm{W}/\mathrm{m}^2\cdot\mathrm{K}),
    • A é a área de superfície ( \mathrm{m}^2),
    • T_\infty é a temperatura ambiente ( \mathrm{K} ou ^\circ\mathrm{C}, a diferença de temperatura é a mesma).
  • Solução da EDO (resfriamento exponencial): resolvendo a equação resulta
    \frac{T(t)-T_\infty}{T_i-T_\infty} = \exp\!\left(-\frac{h A}{m c}\,t\right).
  • Para uma esfera temos fórmulas geométricas:
    A = 4\pi r^2,\qquad V = \frac{4}{3}\pi r^3,\qquad m=\rho V.
    Portanto
    \frac{A}{m}=\frac{4\pi r^2}{\rho \, \frac{4}{3}\pi r^3}=\frac{3}{\rho\, r}.
    Substituindo em cima, o expoente fica
    \frac{h A}{m c}=\frac{3h}{\rho c r}.
    Assim a relação útil para extrair h é
    \frac{T(t)-T_\infty}{T_i-T_\infty}=\exp\!\left(-\frac{3h}{\rho c r}\,t\right).
    Isolando h:
    h = -\frac{\rho c r}{3t}\,\ln\!\left(\frac{T(t)-T_\infty}{T_i-T_\infty}\right).

Passo 3

Determinar os valores numéricos a inserir na fórmula (calcule tudo passo a passo)
  • raio da esfera:
    r=\frac{D}{2}=\frac{0{,}0125}{2}=0{,}00625\\ \mathrm{m}.
  • diferenças de temperatura:
    T_i-T_\infty = 60 - 26{,}6 = 33{,}4\\ \mathrm{K},
T(t)-T_\infty = 53 - 26{,}6 = 26{,}4\\ \mathrm{K}.
  • razão adimensional (temperatura reduzida):
    \theta_{\mathrm{rel}} \equiv \frac{T(t)-T_\infty}{T_i-T_\infty}=\frac{26{,}4}{33{,}4}.
    Vamos simplificar a fração: \dfrac{26{,}4}{33{,}4}=\dfrac{132}{167}\approx 0{,}791017964.
  • logaritmo natural da razão:
    \ln\!\left(\frac{26{,}4}{33{,}4}\right)=\ln(0{,}791017964)\approx -0{,}235076.
    (mostrei o valor aproximado do ln; é negativo porque a razão é menor que 1).

Passo 4

Calcular o termo \rho c r e o fator multiplicativo \dfrac{\rho c r}{3t}
  • produto \rho c:
    \rho c = 8928\\ \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}^3}\times 376\\ \frac{\mathrm{J}}{\mathrm{kg}\cdot\mathrm{K}} = 3\,356\,928\\ \frac{\mathrm{J}}{\mathrm{m}^3\cdot\mathrm{K}}.
  • multiplicando por r:
    \rho c r = 3\,356\,928\times 0{,}00625 = \frac{3\,356\,928}{160} = 20\,980{,}8\\ \frac{\mathrm{J}}{\mathrm{m}^2\cdot\mathrm{K}}.
  • denominador 3t:
    3t = 3\times 69 = 207\\ \mathrm{s}.
  • portanto o fator é
    \frac{\rho c r}{3t}=\frac{20\,980{,}8}{207}\approx 101{,}3565\\ \frac{\mathrm{J}}{\mathrm{m}^2\cdot\mathrm{K}\cdot\mathrm{s}}.
    (unidade consistente: \mathrm{J}/(\mathrm{m}^2\cdot\mathrm{K}) dividido por \mathrm{s} produz o fator que multiplicará um número adimensional para dar h em \mathrm{W}/\mathrm{m}^2\cdot\mathrm{K}, já que 1\\ \mathrm{J}/\mathrm{s}=1\\ \mathrm{W}.)

Passo 5

Calcular h usando a fórmula e os números obtidos
  • Aplicando
    h = -\frac{\rho c r}{3t}\,\ln\!\left(\frac{T(t)-T_\infty}{T_i-T_\infty}\right),
    substituindo valores:
    h \approx -101{,}3565\times (-0{,}235076)\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2\cdot\mathrm{K}.
  • Portanto
    h \approx 23{,}84\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2\cdot\mathrm{K}.

Passo 6

Verificação de consistência (Biot number) e comentário pedagógico
  • É sempre bom checar se a hipótese de temperatura uniforme (lumped capacitance) é razoável. O número de Biot é \mathrm{Bi}=\frac{h L_c}{k},onde L_c é o comprimento característico volumétrico-superfície L_c=\dfrac{V}{A}=\dfrac{r}{3} para esfera, e k é a condutividade térmica do material. O enunciado não forneceu k, mas para cobre típico toma-se k\approx 400\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}\cdot\mathrm{K}. Usando esse valor: L_c=\frac{r}{3}=\frac{0{,}00625}{3}=0{,}0020833\\ \mathrm{m},
\mathrm{Bi}\approx\frac{23{,}84\times 0{,}0020833}{400}\approx 1{,}24\times 10^{-4}\ll 0{,}1.
Como \mathrm{Bi}\ll 0{,}1, a hipótese de temperatura praticamente uniforme dentro da esfera está rigorosamente validada — ótimo, o método é consistente.
  • Comentário final: com os dados fornecidos e as propriedades do cobre indicadas no enunciado, o cálculo direto pelo método de “lumped capacitance” dá h\approx 23{,}84\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2\cdot\mathrm{K}. Se houver discrepância com algum resultado esperado (por exemplo o valor 19{,}826\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2\cdot\mathrm{K} que foi informado), a origem provável seria diferenças nas constantes usadas (por exemplo outro valor de c ou \rho, arredondamentos, ou interpretação do tempo), mas o procedimento e as fórmulas demonstradas aqui são as que se aplicam.

Resposta

\displaystyle h \approx 23{,}84\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2\cdot\mathrm{K}

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