11- Os resultados de medições de velocidades na vertical de uma seção de um canal de grande largura foram os seguintes:
ponto n (m) v (m/s)
1 4,0 1,9
2 3,2 2,3
3 2,4 2
4 1,6 1,5
5 0,8 1,0
6 0,0 0,0
n = distância vertical a partir do fundo do canal
Determinar a vazão específica ou vazão por metro de largura.
Resposta: q=6,2 \frac{\mathrm{~m}^{3} / \mathrm{s}}{\mathrm{m}}

Passo 1

O enunciado pede: determinar a vazão específica (vazão por metro de largura) a partir de medições de velocidade em diferentes profundidades. Dados fornecidos (distâncias verticais a partir do fundo e velocidades):
  • ponto 6: n=0,0\\ \mathrm{m}, v=0,0\\ \mathrm{m/s}
  • ponto 5: n=0,8\\ \mathrm{m}, v=1,0\\ \mathrm{m/s}
  • ponto 4: n=1,6\\ \mathrm{m}, v=1,5\\ \mathrm{m/s}
  • ponto 3: n=2,4\\ \mathrm{m}, v=2,0\\ \mathrm{m/s}
  • ponto 2: n=3,2\\ \mathrm{m}, v=2,3\\ \mathrm{m/s}
  • ponto 1: n=4,0\\ \mathrm{m}, v=1,9\\ \mathrm{m/s}
O que se pede: calcular q, a vazão por unidade de largura (vazão específica) para a coluna de água entre n=0 e n=4{,}0\\ \mathrm{m}.

Passo 2

Conceito e fórmula a usar.
A vazão específica q é a integral da velocidade ao longo da profundidade (porque a largura considerada é 1\\ \mathrm{m}). Em forma matemática:
q=\int_{0}^{H} v(n)\,dn,
onde:
  • q é a vazão por metro de largura, com unidades \mathrm{m}^3\!/\mathrm{s} por metro (ou \mathrm{m}^2/\mathrm{s}),
  • H é a profundidade total (aqui H=4{,}0\\ \mathrm{m}),
  • n é a coordenada vertical a partir do fundo,
  • v(n) é a velocidade medida em função de n.
Como temos velocidades apenas em pontos discretos, usamos uma regra de integração numérica.

Passo 3

Escolha do método de integração numérica e porquê.
Os pontos estão igualmente espaçados em n (diferença entre profundidades consecutivas é constante), então a Regra do Trapézio (trapezoidal rule) é prática, simples e suficiente para provas. Para N intervalos de largura h com velocidades v_0,v_1,\dots,v_N em profundidades correspondentes, a aproximação é:
q \approx h\left(\frac{v_0+v_N}{2} + \sum_{i=1}^{N-1} v_i\right).
Aqui h é o espaçamento vertical entre medidas; v_0 é a velocidade no fundo e v_N no topo.

Passo 4

Reordenei os dados do fundo ( n=0) para a superfície ( n=4{,}0) e identifiquei os termos para a fórmula:
\begin{array}{l} v_0 = 0{,}0\\ \mathrm{m/s}\quad (n=0{,}0\\ \mathrm{m}),\\[2pt] v_1 = 1{,}0\\ \mathrm{m/s}\quad (n=0{,}8\\ \mathrm{m}),\\[2pt] v_2 = 1{,}5\\ \mathrm{m/s}\quad (n=1{,}6\\ \mathrm{m}),\\[2pt] v_3 = 2{,}0\\ \mathrm{m/s}\quad (n=2{,}4\\ \mathrm{m}),\\[2pt] v_4 = 2{,}3\\ \mathrm{m/s}\quad (n=3{,}2\\ \mathrm{m}),\\[2pt] v_5 = 1{,}9\\ \mathrm{m/s}\quad (n=4{,}0\\ \mathrm{m}). \end{array}]

Passo 5

Calcular o espaçamento h. Como as profundidades estão a cada 0{,}8\\ \mathrm{m}:
h = 0{,}8\\ \mathrm{m}.
Número de intervalos N=5 (de n=0 a n=4{,}0 com passo 0{,}8).

Passo 6

Aplicar a Regra do Trapézio. Usando a fórmula
q \approx h\left(\frac{v_0+v_5}{2} + v_1+v_2+v_3+v_4\right),
substituindo os valores:
Calculo dos termos intervalares (forma equivalente, soma de trapézios por intervalo):
\begin{aligned} \text{intervalo }0\to0{,}8 &: \frac{v_0+v_1}{2}\cdot h = \frac{0{,}0+1{,}0}{2}\cdot 0{,}8 = 0{,}5\cdot 0{,}8 = 0{,}4,\\[4pt] \text{intervalo }0{,}8\to1{,}6 &: \frac{1{,}0+1{,}5}{2}\cdot 0{,}8 = 1{,}25\cdot 0{,}8 = 1{,}0,\\[4pt] \text{intervalo }1{,}6\to2{,}4 &: \frac{1{,}5+2{,}0}{2}\cdot 0{,}8 = 1{,}75\cdot 0{,}8 = 1{,}4,\\[4pt] \text{intervalo }2{,}4\to3{,}2 &: \frac{2{,}0+2{,}3}{2}\cdot 0{,}8 = 2{,}15\cdot 0{,}8 = 1{,}72,\\[4pt] \text{intervalo }3{,}2\to4{,}0 &: \frac{2{,}3+1{,}9}{2}\cdot 0{,}8 = 2{,}10\cdot 0{,}8 = 1{,}68. \end{aligned}
Somando todos os trapézios:
q \approx 0{,}4 + 1{,}0 + 1{,}4 + 1{,}72 + 1{,}68 = 6{,}20\\ \mathrm{m}^2\!/\mathrm{s}.]

Passo 7

Interpretação de unidades e comentário final.
A unidade \mathrm{m}^2/\mathrm{s} é equivalente a \mathrm{m}^3/\mathrm{s} por metro de largura — ou seja, vazão por metro de largura. Portanto o resultado é a vazão específica procurada. Bom trabalho — essa é a maneira que normalmente se aplica em prova: identificar espaçamento, escolher trapézio (ou Simpson se quiser maior precisão e tiver número adequado de intervalos), calcular cada trapézio e somar.

Resposta

q=6{,}2\\ \dfrac{\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}}{\mathrm{m}}

Exercícios relacionados