3-10 Determine se \mathbf{F} é ou não um campo vetorial conservativo. Se for, determine uma função f tal que \mathbf{F}=\nabla f.
3. \mathbf{F}(x, y)=(2 x-3 y) \mathbf{i}+(-3 x+4 y-8) \mathbf{j}
4. \quad \mathbf{F}(x, y)=e^{x} \cos y \mathbf{i}+e^{x} \operatorname{sen} y \mathbf{j}
5. \quad \mathbf{F}(x, y)=e^{x} \operatorname{sen} y \mathbf{i}+e \cos y \mathbf{j}

Passo 1

O que o enunciado pede e quais são os dados.
  • Pede para cada campo vetorial determinar se é conservativo. Se for, encontrar uma função potencial f tal que \mathbf{F}=\nabla f.
  • Os campos dados são (peguei-os do enunciado):
    1. \mathbf{F}(x,y)=(2x-3y)\,\mathbf{i}+(-3x+4y-8)\,\mathbf{j}.
    2. \mathbf{F}(x,y)=e^{x}\cos y\,\mathbf{i}+e^{x}\sin y\,\mathbf{j}.
    3. \mathbf{F}(x,y)=e^{x}\sin y\,\mathbf{i}+e\cos y\,\mathbf{j}.
  • Observação importante sobre o item 3: há uma ambiguidade na transcrição do enunciado. A segunda componente apareceu como e\cos y (constante e multiplicando \cos y) — mas é comum encontrar no exercício a segunda componente igual a e^{x}\cos y. Eu NÃO tenho como perguntar de volta, então vou:
    • Primeiro resolver assumindo que a intenção é a versão simétrica \mathbf{F}(x,y)=e^{x}\sin y\,\mathbf{i}+e^{x}\cos y\,\mathbf{j} (essa é a hipótese que uso para dar a resposta principal do item 3).
    • Depois, ao final, vou comentar rapidamente a outra leitura possível ( \mathbf{F}(x,y)=e^{x}\sin y\,\mathbf{i}+e\cos y\,\mathbf{j}) e dizer o que aconteceria nela.

Passo 2

Conceito e método que usarei (explicado passo a passo, sem pular etapas)
  • Definição: Um campo vetorial em duas variáveis \mathbf{F}(x,y)=P(x,y)\,\mathbf{i}+Q(x,y)\,\mathbf{j} é conservativo (tem potencial f com \mathbf{F}=\nabla f) se existe uma função f(x,y) tal que
    \frac{\partial f}{\partial x}=P(x,y),\qquad \frac{\partial f}{\partial y}=Q(x,y).
    Aqui P é a componente x (coeficiente de \mathbf{i}) e Q é a componente y (coeficiente de \mathbf{j}).
  • Teste prático (para campos com derivadas parciais contínuas definidos em um domínio simplesmente conectado, como \mathbb{R}^2): basta verificar se as derivadas parciais mistas coincidem:
    \frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}.
    Se essa igualdade vale em todo o domínio, o campo é conservativo. Se não vale, não é conservativo.
  • Como encontrar f quando o campo é conservativo (método padrão):
    1. Integro P(x,y) em relação a x: \displaystyle f(x,y)=\int P(x,y)\,dx + h(y). Aqui h(y) é uma “constante” de integração que pode depender de y.
    2. Derivo essa f proposta em relação a y: \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\!\bigg(\int P\,dx\bigg)+h'(y).
    3. Igualo essa derivada a Q(x,y) e resolvo para h'(y); integro h'(y) para obter h(y). Com isso obtenho f(x,y) até uma constante aditiva C.
Vou aplicar exatamente isso, com todas as contas detalhadas.

Passo 3

Item 1: \mathbf{F}(x,y)=(2x-3y)\,\mathbf{i}+(-3x+4y-8)\,\mathbf{j}.
  • Identifico P(x,y)=2x-3y e Q(x,y)=-3x+4y-8.
  • Calculo as derivadas parciais necessárias: \frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}(2x-3y)=-3,
\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(-3x+4y-8)=-3.
Como \dfrac{\partial P}{\partial y}=\dfrac{\partial Q}{\partial x} (ambas iguais a -3) em todo \mathbb{R}^2, o campo é conservativo (o domínio é \mathbb{R}^2, simplesmente conectado, então o teste é suficiente).
  • Agora encontro a função potencial f.
    1. Integro P em relação a x: \int P(x,y)\,dx=\int (2x-3y)\,dx = x^{2}-3xy + h(y),onde h(y) é a “constante” de integração que depende só de y.
    2. Derivo essa expressão em relação a y: \frac{\partial}{\partial y}\big(x^{2}-3xy + h(y)\big) = -3x + h'(y).
    3. Igualo essa derivada a Q(x,y): -3x + h'(y) = -3x + 4y - 8.Assim h'(y)=4y-8.
    4. Integro h'(y) em y: h(y)=\int (4y-8)\,dy = 2y^{2}-8y + C,onde C é uma constante real.
    5. Portanto a função potencial é f(x,y)=x^{2}-3xy + 2y^{2}-8y + C.
  • Verificação rápida: \partial f/\partial x = 2x-3y = P e \partial f/\partial y = -3x+4y-8 = Q. Está consistente.

Passo 4

Item 2: \mathbf{F}(x,y)=e^{x}\cos y\,\mathbf{i}+e^{x}\sin y\,\mathbf{j}.
  • Identifico P(x,y)=e^{x}\cos y e Q(x,y)=e^{x}\sin y.
  • Calculo as derivadas parciais: \frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}(e^{x}\cos y) = -e^{x}\sin y,
\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(e^{x}\sin y) = e^{x}\sin y.
  • Comparando: \frac{\partial P}{\partial y} = -e^{x}\sin y,\qquad \frac{\partial Q}{\partial x} = e^{x}\sin y.Essas duas derivadas são iguais somente quando e^{x}\sin y=0, ou seja em linhas isoladas (por exemplo quando \sin y=0); mas não são iguais em geral no domínio \mathbb{R}^2. Portanto \frac{\partial P}{\partial y}\neq\frac{\partial Q}{\partial x}\quad\text{(em geral)},logo o campo NÃO é conservativo em \mathbb{R}^2.
  • Um cálculo útil do “rotacional” (em 2D) que mostra o motivo: \frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}=e^{x}\sin y - (-e^{x}\sin y)=2e^{x}\sin y,que não é zero em geral. Conclusão: não conservativo.

Passo 5

Item 3 (hipótese principal): assumindo a forma simétrica \mathbf{F}(x,y)=e^{x}\sin y\,\mathbf{i}+e^{x}\cos y\,\mathbf{j}.
  • Identifico P(x,y)=e^{x}\sin y e Q(x,y)=e^{x}\cos y.
  • Calculo as derivadas: \frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}(e^{x}\sin y)=e^{x}\cos y,
\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(e^{x}\cos y)=e^{x}\cos y.
As duas derivadas coincidem em todo \mathbb{R}^2, logo o campo é conservativo.
  • Encontro a potencial f:
    1. Integro P em relação a x: \int P\,dx=\int e^{x}\sin y\,dx = e^{x}\sin y + h(y).
    2. Derivo em y: \frac{\partial}{\partial y}\big(e^{x}\sin y + h(y)\big) = e^{x}\cos y + h'(y).
    3. Igualo a Q: e^{x}\cos y + h'(y) = e^{x}\cos y \quad\Rightarrow\quad h'(y)=0.Assim h(y)=C (constante).
    4. Logo uma função potencial é f(x,y)=e^{x}\sin y + C.
  • Verificação: \partial f/\partial x = e^{x}\sin y = P e \partial f/\partial y = e^{x}\cos y = Q. Está certo.

Passo 6

Comentário sobre a ambiguidade do item 3 (leitura alternativa)
  • Se, em vez de e^{x}\cos y, a segunda componente for realmente e\cos y (ou seja \mathbf{F}(x,y)=e^{x}\sin y\,\mathbf{i}+e\cos y\,\mathbf{j}, com e fixo), então: \frac{\partial P}{\partial y}=e^{x}\cos y,\qquad \frac{\partial Q}{\partial x}=0,que não são iguais em geral; nesse caso o campo NÃO seria conservativo. Portanto o resultado do item 3 depende da leitura: com e^{x}\cos y dá campo conservativo com potencial e^{x}\sin y+C; com e\cos y dá não conservativo.

Resposta

  1. Conservativo. f(x,y)=x^{2}-3xy+2y^{2}-8y + C
  2. Não conservativo.
  3. (assumindo \mathbf{F}=e^{x}\sin y\,\mathbf{i}+e^{x}\cos y\,\mathbf{j}) Conservativo. f(x,y)=e^{x}\sin y + C

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