3-10 Determine se
é ou não um campo vetorial conservativo. Se for, determine uma função
tal que
.
3.
4.
5.
3.
4.
5.
Passo 1
O que o enunciado pede e quais são os dados.
-
Pede para cada campo vetorial determinar se é conservativo. Se for, encontrar uma função potencial
tal que . -
Os campos dados são (peguei-os do enunciado):
-
. -
. -
.
-
-
Observação importante sobre o item 3: há uma ambiguidade na transcrição do enunciado. A segunda componente apareceu como
(constante multiplicando ) — mas é comum encontrar no exercício a segunda componente igual a . Eu NÃO tenho como perguntar de volta, então vou: - Primeiro resolver assumindo que a intenção é a versão simétrica
(essa é a hipótese que uso para dar a resposta principal do item 3). - Depois, ao final, vou comentar rapidamente a outra leitura possível (
) e dizer o que aconteceria nela.
- Primeiro resolver assumindo que a intenção é a versão simétrica
Passo 2
Conceito e método que usarei (explicado passo a passo, sem pular etapas)
-
Definição: Um campo vetorial em duas variáveis
é conservativo (tem potencial com ) se existe uma função tal que Aquié a componente (coeficiente de ) e é a componente (coeficiente de ). -
Teste prático (para campos com derivadas parciais contínuas definidos em um domínio simplesmente conectado, como
): basta verificar se as derivadas parciais mistas coincidem: Se essa igualdade vale em todo o domínio, o campo é conservativo. Se não vale, não é conservativo. -
Como encontrar
quando o campo é conservativo (método padrão): - Integro
em relação a : . Aqui é uma “constante” de integração que pode depender de . - Derivo essa
proposta em relação a : . - Igualo essa derivada a
e resolvo para ; integro para obter . Com isso obtenho até uma constante aditiva .
- Integro
Vou aplicar exatamente isso, com todas as contas detalhadas.
Passo 3
Item 1:
.
- Identifico
e . - Calculo as derivadas parciais necessárias:
Como
(ambas iguais a
) em todo
, o campo é conservativo (o domínio é
, simplesmente conectado, então o teste é suficiente).
- Agora encontro a função potencial
. - Integro
em relação a : onde é a “constante” de integração que depende só de . - Derivo essa expressão em relação a
: - Igualo essa derivada a
: Assim . - Integro
em : onde é uma constante real. - Portanto a função potencial é
- Integro
- Verificação rápida:
e . Está consistente.
Passo 4
Item 2:
.
- Identifico
e . - Calculo as derivadas parciais:
- Comparando:
Essas duas derivadas são iguais somente quando , ou seja em linhas isoladas (por exemplo quando ); mas não são iguais em geral no domínio . Portanto logo o campo NÃO é conservativo em . - Um cálculo útil do “rotacional” (em 2D) que mostra o motivo:
que não é zero em geral. Conclusão: não conservativo.
Passo 5
Item 3 (hipótese principal): assumindo a forma simétrica
.
- Identifico
e . - Calculo as derivadas:
As duas derivadas coincidem em todo
, logo o campo é conservativo.
- Encontro a potencial
: - Integro
em relação a : - Derivo em
: - Igualo a
: Assim (constante). - Logo uma função potencial é
- Integro
- Verificação:
e . Está certo.
Passo 6
Comentário sobre a ambiguidade do item 3 (leitura alternativa)
- Se, em vez de
, a segunda componente for realmente (ou seja , com fixo), então: que não são iguais em geral; nesse caso o campo NÃO seria conservativo. Portanto o resultado do item 3 depende da leitura: com dá campo conservativo com potencial ; com dá não conservativo.
Resposta
-
Conservativo.
-
Não conservativo.
-
(assumindo
) Conservativo.