3-6 Identifique a superfície que tem a equação paramétrica dada.
5.
6.
5.
6.
Passo 1
O enunciado dá duas curvas paramétricas (na verdade parametrizações de superfícies) e pede que se identifique que superfície cada uma descreve. As informações relevantes são:
- Para o item 5 a função vetorial é
. Os parâmetros são e . - Para o item 6 a função vetorial é
. Os parâmetros são e .
O pedido: determinar geometricamente que superfície (equação cartesiana e descrição geométrica) cada parametrização gera.
Passo 2
Vamos tratar o item 5 passo a passo. Primeiro escrevo as coordenadas cartesianas associadas à parametrização:
Isto significa que
Agora elimino o parâmetro
combinando
e
. Uso a identidade trigonométrica fundamental:
Substituindo
e
obtemos
Portanto todo ponto gerado pela parametrização satisfaz
Explicando o que isso significa geometricamente: a equação
descreve um cilindro circular de raio
cujo eixo é o eixo
. Aqui o parâmetro
é livre (pode variar), então para cada valor de
temos o círculo
em uma seção perpendicular ao eixo
. Assim a superfície é um cilindro circular (infinito nas duas direções do eixo
) de raio
centrado no eixo
.
Dou um exemplo concreto para fixar: para
e
a parametrização dá o ponto
, que verifica
.
Passo 3
Agora trato o item 6 passo a passo. Escrevo as coordenadas cartesianas:
Isto dá as expressões
Novamente elimino
combinando
e
. Calculo
Logo a equação cartesiana é
Reescrevendo:
Interpretando geometricamente: para cada valor fixo de
o conjunto de pontos gerados é um círculo de raio
na seção perpendicular ao eixo
. À medida que
cresce, o raio do círculo cresce proporcionalmente. Isso caracteriza um cone com vértice na origem e eixo ao longo do eixo
. Como
aparece na relação, os valores positivos e negativos de
geram as duas partes do cone (duas nappes), portanto a superfície é um cone circular reto de revolução com vértice na origem e eixo no eixo
.
Posso dizer também qual é o ângulo entre a geratriz do cone e o eixo
: para este cone temos raio
no plano
const, logo
, o que dá
. Ou seja, as semi-ângulos do cone são
.
Passo 4
Resumo dos passos práticos que usei (dica para a prova): quando receber uma parametrização
,
- escreva
, , ; - tente eliminar os parâmetros combinando as expressões (por exemplo somando quadrados quando aparecem
e ); - obtenha uma equação cartesiana do tipo
e reconheça a superfície (plano, esfera, cilindro, cone, paraboloide, etc.).
No caso de funções trigonométricas, a identidadeé a amiga mais comum.
Resposta
-
(cilindro circular de raio com eixo no eixo ). -
(cone circular reto com vértice na origem e eixo no eixo ; semi-ângulo ).