3-6 Identifique a superfície que tem a equação paramétrica dada.
5. \mathbf{r}(x, \theta)=\langle x, \cos \theta, \operatorname{sen} \theta\rangle
6. \mathbf{r}(x, \theta)=\langle x, x \cos \theta, x \operatorname{sen} \theta\rangle

Passo 1

O enunciado dá duas curvas paramétricas (na verdade parametrizações de superfícies) e pede que se identifique que superfície cada uma descreve. As informações relevantes são:
  • Para o item 5 a função vetorial é \mathbf{r}(x,\theta)=\langle x,\cos\theta,\operatorname{sen}\theta\rangle. Os parâmetros são x e \theta.
  • Para o item 6 a função vetorial é \mathbf{r}(x,\theta)=\langle x,x\cos\theta,x\operatorname{sen}\theta\rangle. Os parâmetros são x e \theta.
    O pedido: determinar geometricamente que superfície (equação cartesiana e descrição geométrica) cada parametrização gera.

Passo 2

Vamos tratar o item 5 passo a passo. Primeiro escrevo as coordenadas cartesianas associadas à parametrização:
(x,y,z) = \bigl(x,\cos\theta,\operatorname{sen}\theta\bigr).
Isto significa que
y=\cos\theta,\qquad z=\operatorname{sen}\theta.
Agora elimino o parâmetro \theta combinando y e z. Uso a identidade trigonométrica fundamental:
\cos^2\theta+\operatorname{sen}^2\theta=1.
Substituindo y e z obtemos
y^2+z^2=\cos^2\theta+\operatorname{sen}^2\theta=1.
Portanto todo ponto gerado pela parametrização satisfaz
y^2+z^2=1.
Explicando o que isso significa geometricamente: a equação \,y^2+z^2=1\, descreve um cilindro circular de raio 1 cujo eixo é o eixo x. Aqui o parâmetro x é livre (pode variar), então para cada valor de x temos o círculo \{(y,z)\mid y^2+z^2=1\} em uma seção perpendicular ao eixo x. Assim a superfície é um cilindro circular (infinito nas duas direções do eixo x) de raio 1 centrado no eixo x.
Dou um exemplo concreto para fixar: para x=2 e \theta=\tfrac{\pi}{2} a parametrização dá o ponto (2,0,1), que verifica 0^2+1^2=1.

Passo 3

Agora trato o item 6 passo a passo. Escrevo as coordenadas cartesianas:
(x,y,z)=\bigl(x,x\cos\theta,x\operatorname{sen}\theta\bigr).
Isto dá as expressões
y=x\cos\theta,\qquad z=x\operatorname{sen}\theta.
Novamente elimino \theta combinando y e z. Calculo
y^2+z^2 = x^2\cos^2\theta + x^2\operatorname{sen}^2\theta = x^2\bigl(\cos^2\theta+\operatorname{sen}^2\theta\bigr)=x^2.
Logo a equação cartesiana é
y^2+z^2 = x^2.
Reescrevendo:
x^2 - y^2 - z^2 = 0.
Interpretando geometricamente: para cada valor fixo de x o conjunto de pontos gerados é um círculo de raio |x| na seção perpendicular ao eixo x. À medida que |x| cresce, o raio do círculo cresce proporcionalmente. Isso caracteriza um cone com vértice na origem e eixo ao longo do eixo x. Como |x| aparece na relação, os valores positivos e negativos de x geram as duas partes do cone (duas nappes), portanto a superfície é um cone circular reto de revolução com vértice na origem e eixo no eixo x.
Posso dizer também qual é o ângulo entre a geratriz do cone e o eixo x: para este cone temos raio r=|x| no plano x=const, logo \tan\varphi = \dfrac{r}{|x|}=1, o que dá \varphi=45^\circ. Ou seja, as semi-ângulos do cone são 45^\circ.

Passo 4

Resumo dos passos práticos que usei (dica para a prova): quando receber uma parametrização \mathbf{r}(u,v)=\langle X(u,v),Y(u,v),Z(u,v)\rangle,
  • escreva x=X(u,v), y=Y(u,v), z=Z(u,v);
  • tente eliminar os parâmetros combinando as expressões (por exemplo somando quadrados quando aparecem \cos e \operatorname{sen});
  • obtenha uma equação cartesiana do tipo F(x,y,z)=0 e reconheça a superfície (plano, esfera, cilindro, cone, paraboloide, etc.).
    No caso de funções trigonométricas, a identidade \cos^2\theta+\operatorname{sen}^2\theta=1 é a amiga mais comum.

Resposta

  1. y^2+z^2=1 (cilindro circular de raio 1 com eixo no eixo x).
  2. y^2+z^2=x^2 (cone circular reto com vértice na origem e eixo no eixo x; semi-ângulo 45^\circ).

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