19-22 Calcule a integral de linha \int_{C} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{r}, onde C é dada pela função vetorial \mathbf{r}(t).
19. \mathbf{F}(x, y)=x y \mathbf{i}+3 y^{2} \mathbf{j}, \quad \mathbf{r}(t)=11 t^{4} \mathbf{i}+t^{3} \mathbf{j}, \quad 0 \leqslant t \leqslant 1
20. \mathbf{F}(x, y, z)=(x+y) \mathbf{i}+(y-z) \mathbf{j}+z^{2} \mathbf{k}, \mathbf{r}(t)=t^{2} \mathbf{i}+t^{3} \mathbf{j}+t^{2} \mathbf{k}, \quad 0 \leqslant t \leqslant 1
Passo 1
Vou listar claramente o que cada item do enunciado pede e quais informações nos foram dadas.
Item 19:
Campo vetorial: \mathbf{F}(x,y)=x y\,\mathbf{i}+3 y^{2}\,\mathbf{j}.
Curva paramétrica: \mathbf{r}(t)=11 t^{4}\,\mathbf{i}+t^{3}\,\mathbf{j}, com 0\le t\le1.
Pergunta: calcular a integral de linha \displaystyle \int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} ao longo da curva C dada por \mathbf{r}(t).
Item 20:
Campo vetorial: \mathbf{F}(x,y,z)=(x+y)\,\mathbf{i}+(y-z)\,\mathbf{j}+z^{2}\,\mathbf{k}.
Curva paramétrica: \mathbf{r}(t)=t^{2}\,\mathbf{i}+t^{3}\,\mathbf{j}+t^{2}\,\mathbf{k}, com 0\le t\le1.
Pergunta: calcular a integral de linha \displaystyle \int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} ao longo da curva C dada por \mathbf{r}(t).
Lembrete útil que vou usar nos dois itens (fórmula principal):
onde \mathbf{r}(t) é a parametrização da curva com t\in[a,b], \mathbf{r}'(t) é a derivada de \mathbf{r}(t) e \mathbf{F}(\mathbf{r}(t)) é o campo avaliado ao longo da curva.
Passo 2
Explicando passo a passo como aplicar a fórmula: primeiro calcula-se \mathbf{r}'(t); depois substitui-se x(t),y(t),z(t) em \mathbf{F} para obter \mathbf{F}(\mathbf{r}(t)); em seguida calcula-se o produto escalar \mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot\mathbf{r}'(t), que é uma função de t; por fim integra-se essa função no intervalo dado. A regra básica de integração que usarei é a potência: \displaystyle \int t^{n}\,dt=\frac{t^{n+1}}{n+1}+C (para n\neq-1). Agora aplico isso ao item 19.
Passo 3
Item 19 — calcular \mathbf{r}'(t).
Dada \mathbf{r}(t)=11 t^{4}\,\mathbf{i}+t^{3}\,\mathbf{j}, derivamos componente a componente: