19-22 Calcule a integral de linha \int_{C} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{r}, onde C é dada pela função vetorial \mathbf{r}(t).
19. \mathbf{F}(x, y)=x y \mathbf{i}+3 y^{2} \mathbf{j}, \quad \mathbf{r}(t)=11 t^{4} \mathbf{i}+t^{3} \mathbf{j}, \quad 0 \leqslant t \leqslant 1
20. \mathbf{F}(x, y, z)=(x+y) \mathbf{i}+(y-z) \mathbf{j}+z^{2} \mathbf{k}, \mathbf{r}(t)=t^{2} \mathbf{i}+t^{3} \mathbf{j}+t^{2} \mathbf{k}, \quad 0 \leqslant t \leqslant 1

Passo 1

Vou listar claramente o que cada item do enunciado pede e quais informações nos foram dadas.
  • Item 19:
    • Campo vetorial: \mathbf{F}(x,y)=x y\,\mathbf{i}+3 y^{2}\,\mathbf{j}.
    • Curva paramétrica: \mathbf{r}(t)=11 t^{4}\,\mathbf{i}+t^{3}\,\mathbf{j}, com 0\le t\le1.
    • Pergunta: calcular a integral de linha \displaystyle \int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} ao longo da curva C dada por \mathbf{r}(t).
  • Item 20:
    • Campo vetorial: \mathbf{F}(x,y,z)=(x+y)\,\mathbf{i}+(y-z)\,\mathbf{j}+z^{2}\,\mathbf{k}.
    • Curva paramétrica: \mathbf{r}(t)=t^{2}\,\mathbf{i}+t^{3}\,\mathbf{j}+t^{2}\,\mathbf{k}, com 0\le t\le1.
    • Pergunta: calcular a integral de linha \displaystyle \int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} ao longo da curva C dada por \mathbf{r}(t).
Lembrete útil que vou usar nos dois itens (fórmula principal):
\int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=\int_{a}^{b}\mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot\mathbf{r}'(t)\,dt,
onde \mathbf{r}(t) é a parametrização da curva com t\in[a,b], \mathbf{r}'(t) é a derivada de \mathbf{r}(t) e \mathbf{F}(\mathbf{r}(t)) é o campo avaliado ao longo da curva.

Passo 2

Explicando passo a passo como aplicar a fórmula: primeiro calcula-se \mathbf{r}'(t); depois substitui-se x(t),y(t),z(t) em \mathbf{F} para obter \mathbf{F}(\mathbf{r}(t)); em seguida calcula-se o produto escalar \mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot\mathbf{r}'(t), que é uma função de t; por fim integra-se essa função no intervalo dado. A regra básica de integração que usarei é a potência: \displaystyle \int t^{n}\,dt=\frac{t^{n+1}}{n+1}+C (para n\neq-1). Agora aplico isso ao item 19.

Passo 3

Item 19 — calcular \mathbf{r}'(t).
Dada \mathbf{r}(t)=11 t^{4}\,\mathbf{i}+t^{3}\,\mathbf{j}, derivamos componente a componente:
\mathbf{r}'(t)=\frac{d}{dt}\big(11 t^{4}\big)\,\mathbf{i}+\frac{d}{dt}\big(t^{3}\big)\,\mathbf{j}=44 t^{3}\,\mathbf{i}+3 t^{2}\,\mathbf{j}.

Passo 4

Item 19 — avaliar o campo ao longo da curva: substituir x=11 t^{4} e y=t^{3} em \mathbf{F}.
\mathbf{F}(\mathbf{r}(t))=x y\,\mathbf{i}+3 y^{2}\,\mathbf{j}=(11 t^{4}\cdot t^{3})\,\mathbf{i}+3(t^{3})^{2}\,\mathbf{j}=11 t^{7}\,\mathbf{i}+3 t^{6}\,\mathbf{j}.

Passo 5

Item 19 — calcular o produto escalar \mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot\mathbf{r}'(t).
\mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot\mathbf{r}'(t)=(11 t^{7})(44 t^{3})+(3 t^{6})(3 t^{2})=484 t^{10}+9 t^{8}.
Explanação rápida: multiplica-se componente i com i e j com j e soma-se. Note as potências somarem nos produtos.

Passo 6

Item 19 — integrar a função obtida no intervalo 0\le t\le1.
\int_{0}^{1}\big(484 t^{10}+9 t^{8}\big)\,dt =484\int_{0}^{1}t^{10}\,dt+9\int_{0}^{1}t^{8}\,dt.
Usando \displaystyle \int t^{n}\,dt=\frac{t^{n+1}}{n+1}:
484\cdot\frac{t^{11}}{11}\Big|_{0}^{1}+9\cdot\frac{t^{9}}{9}\Big|_{0}^{1} =484\cdot\frac{1}{11}+9\cdot\frac{1}{9}=44+1=45.
Portanto a integral do item 19 é \,45.

Passo 7

Agora aplico o mesmo procedimento ao item 20. Primeiro calculo \mathbf{r}'(t).
Dada \mathbf{r}(t)=t^{2}\,\mathbf{i}+t^{3}\,\mathbf{j}+t^{2}\,\mathbf{k}, temos
\mathbf{r}'(t)=2 t\,\mathbf{i}+3 t^{2}\,\mathbf{j}+2 t\,\mathbf{k}.

Passo 8

Item 20 — avaliar o campo ao longo da curva: substituir x=t^{2}, y=t^{3}, z=t^{2} em \mathbf{F}.
\mathbf{F}(\mathbf{r}(t))=(x+y)\,\mathbf{i}+(y-z)\,\mathbf{j}+z^{2}\,\mathbf{k}=(t^{2}+t^{3})\,\mathbf{i}+(t^{3}-t^{2})\,\mathbf{j}+t^{4}\,\mathbf{k}.

Passo 9

Item 20 — calcular o produto escalar \mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot\mathbf{r}'(t).
\begin{aligned} \mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot\mathbf{r}'(t) &=(t^{2}+t^{3})(2 t)+(t^{3}-t^{2})(3 t^{2})+(t^{4})(2 t)\\\ &=2 t^{3}+2 t^{4}+3 t^{5}-3 t^{4}+2 t^{5}\\\ &=2 t^{3}-t^{4}+5 t^{5}. \end{aligned}
Detalhe: juntei termos semelhantes em t^{4} e t^{5}.

Passo 10

Item 20 — integrar a função obtida no intervalo 0\le t\le1.
\int_{0}^{1}\big(2 t^{3}-t^{4}+5 t^{5}\big)\,dt =2\int_{0}^{1}t^{3}\,dt-\int_{0}^{1}t^{4}\,dt+5\int_{0}^{1}t^{5}\,dt.
Calculando com a regra da potência:
2\cdot\frac{t^{4}}{4}\Big|_{0}^{1}-\frac{t^{5}}{5}\Big|_{0}^{1}+5\cdot\frac{t^{6}}{6}\Big|_{0}^{1} =\frac{2}{4}-\frac{1}{5}+\frac{5}{6}=\frac{1}{2}-\frac{1}{5}+\frac{5}{6}.
Colocando em denominador comum 30:
\frac{15}{30}-\frac{6}{30}+\frac{25}{30}=\frac{34}{30}=\frac{17}{15}.
Portanto a integral do item 20 é \displaystyle \frac{17}{15}.

Resposta

  1. 45
  2. \dfrac{17}{15}

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