1. \int_{C}\left(2 y^{2}-12 x^{3} y^{3}\right) d x+\left(4 x y-9 x^{4} y^{2}\right) d y, C é qualquer caminho de (1,1) a (3,2)

Passo 1

O enunciado pede o valor da integral de linha
\int_{C}\left(2 y^{2}-12 x^{3} y^{3}\right)\, dx+\left(4 x y-9 x^{4} y^{2}\right)\, dy,
onde C é “qualquer caminho” que vai do ponto (1,1) até o ponto (3,2).
Informações dadas:
  • A integranda é dada pelos componentes P(x,y)=2 y^{2}-12 x^{3} y^{3}, \qquad Q(x,y)=4 x y-9 x^{4} y^{2}.
  • Os pontos inicial e final são (1,1) e (3,2).
  • A frase “qualquer caminho” sugere que a integral não depende do caminho (ou seja, é independente do caminho), mas isso precisa ser verificado.
O que é pedido:
  • Calcular o valor da integral de linha entre (1,1) e (3,2).

Passo 2

Verificar se a forma diferencial é exata (isto é, se a integral é independente do caminho).
Cálculo das derivadas parciais (mostrando passo a passo):
\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\big(2 y^{2}-12 x^{3} y^{3}\big) =4 y -36 x^{3} y^{2},
\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\big(4 x y-9 x^{4} y^{2}\big) =4 y -36 x^{3} y^{2}.
Como
\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}
em todos os pontos (x,y) do plano, a forma é exata em todo \mathbb{R}^2. Portanto existe uma função potencial f(x,y) tal que df = P\,dx + Q\,dy, e a integral entre dois pontos depende apenas dos valores de f nesses pontos (independência do caminho). A verificação explícita das parciais é o passo-chave aqui.

Passo 3

Explicação didática do método usado (para a prova):
  • Quando P e Q satisfazem \partial P/\partial y=\partial Q/\partial x num domínio simplesmente conexo (aqui o plano todo), existe f(x,y) com \frac{\partial f}{\partial x}=P,\qquad \frac{\partial f}{\partial y}=Q.
  • Para encontrar f costuma-se integrar P em relação a x (tratando y como constante), obtendo uma expressão com uma “constante” que pode depender de y. Depois determina-se essa função de y comparando com \partial f/\partial y e igualando a Q. Esse procedimento evita integrar ao longo de caminhos complicados e é rápido na prova.

Passo 4

Encontrar a função potencial f(x,y) integrando P em relação a x.
Integrando termo a termo:
\int P\,dx=\int\big(2 y^{2}-12 x^{3} y^{3}\big)\,dx =2 y^{2}\int 1\,dx -12 y^{3}\int x^{3}\,dx.
Calculando as integrais:
2 y^{2}\int 1\,dx = 2 x y^{2}, \qquad -12 y^{3}\int x^{3}\,dx = -12 y^{3}\cdot\frac{x^{4}}{4} = -3 x^{4} y^{3}.
Logo
f(x,y)=2 x y^{2}-3 x^{4} y^{3}+h(y),
onde h(y) é uma função que só depende de y (análogo à “constante de integração”).

Passo 5

Determinar h(y) usando a igualdade com Q.
Calcule \partial f/\partial y a partir da expressão obtida:
\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}\big(2 x y^{2}-3 x^{4} y^{3}+h(y)\big) =4 x y -9 x^{4} y^{2} + h'(y).
Devemos ter \partial f/\partial y = Q(x,y)=4 x y -9 x^{4} y^{2}. Igualando,
4 x y -9 x^{4} y^{2} + h'(y) = 4 x y -9 x^{4} y^{2},
logo
h'(y)=0.
Portanto h(y)= constante. Podemos escolher essa constante igual a zero (não altera a diferença de potenciais). Assim a função potencial pode ser tomada como
f(x,y)=2 x y^{2}-3 x^{4} y^{3}.

Passo 6

Avaliar f nos pontos finais e tomar a diferença (valor da integral).
Calcule f(3,2):
2\cdot 3\cdot 2^{2}=2\cdot 3\cdot 4=24.
Agora o termo grande:
3\cdot 3^{4}\cdot 2^{3}=3\cdot 81\cdot 8.
Calcule passo a passo:
81\cdot 8 = 648, \qquad 3\cdot 648 = 1944.
Então
f(3,2)=24 - 1944 = -1920.
Calcule f(1,1):
2\cdot 1\cdot 1^{2}=2, \qquad 3\cdot 1^{4}\cdot 1^{3}=3,
logo
f(1,1)=2-3=-1.
Portanto a integral pedida (potencial em (3,2) menos potencial em (1,1)) é
f(3,2)-f(1,1) = -1920 - (-1) = -1919.

Passo 7

Interpretação final e dica de prova:
  • Como a forma era exata, não importa qual curva C entre (1,1) e (3,2) escolher — qualquer caminho dá o mesmo valor -1919.
  • Dica para a prova: sempre verifique \partial P/\partial y e \partial Q/\partial x primeiro; se coincidem em um domínio adequado, vá direto pela potencial — economiza tempo e evita integrais ao longo de curvas.

Resposta

-1919

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