-
,
é qualquer caminho de
a
Passo 1
O enunciado pede o valor da integral de linha
onde
é “qualquer caminho” que vai do ponto
até o ponto
.
Informações dadas:
- A integranda é dada pelos componentes
- Os pontos inicial e final são
e . - A frase “qualquer caminho” sugere que a integral não depende do caminho (ou seja, é independente do caminho), mas isso precisa ser verificado.
O que é pedido:
- Calcular o valor da integral de linha entre
e .
Passo 2
Verificar se a forma diferencial é exata (isto é, se a integral é independente do caminho).
Cálculo das derivadas parciais (mostrando passo a passo):
Como
em todos os pontos
do plano, a forma é exata em todo
. Portanto existe uma função potencial
tal que
, e a integral entre dois pontos depende apenas dos valores de
nesses pontos (independência do caminho). A verificação explícita das parciais é o passo-chave aqui.
Passo 3
Explicação didática do método usado (para a prova):
- Quando
e satisfazem num domínio simplesmente conexo (aqui o plano todo), existe com - Para encontrar
costuma-se integrar em relação a (tratando como constante), obtendo uma expressão com uma “constante” que pode depender de . Depois determina-se essa função de comparando com e igualando a . Esse procedimento evita integrar ao longo de caminhos complicados e é rápido na prova.
Passo 4
Encontrar a função potencial
integrando
em relação a
.
Integrando termo a termo:
Calculando as integrais:
Logo
onde
é uma função que só depende de
(análogo à “constante de integração”).
Passo 5
Determinar
usando a igualdade com
.
Calcule
a partir da expressão obtida:
Devemos ter
. Igualando,
logo
Portanto
constante. Podemos escolher essa constante igual a zero (não altera a diferença de potenciais). Assim a função potencial pode ser tomada como
Passo 6
Avaliar
nos pontos finais e tomar a diferença (valor da integral).
Calcule
:
Agora o termo grande:
Calcule passo a passo:
Então
Calcule
:
logo
Portanto a integral pedida (potencial em
menos potencial em
) é
Passo 7
Interpretação final e dica de prova:
- Como a forma era exata, não importa qual curva
entre e escolher — qualquer caminho dá o mesmo valor . - Dica para a prova: sempre verifique
e primeiro; se coincidem em um domínio adequado, vá direto pela potencial — economiza tempo e evita integrais ao longo de curvas.