1. Esboce o gráfico da função f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, dada por
f(x)=\frac{x^{2}}{x^{2}-4}
indicando os extremos, relativos e absolutos, caso tenha, e os pontos de inflexão do gráfico. Além disso, indiquem, caso existam, as assíntotas verticais e horizontais do gráfico da função ( \mathbf{1 , 0} ponto)

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=\frac{x^{2}}{x^{2}-4},
definida em \mathbb{R} salvo pontos que façam o denominador zero. Pede-se:
  • Esboçar o gráfico de f.
  • Indicar as assíntotas verticais e horizontais (se existirem).
  • Indicar extremos (relativos e absolutos, se houver).
  • Indicar pontos de inflexão do gráfico.
Informações relevantes dadas pelo enunciado: a expressão algébrica de f (função racional) e o domínio natural implícito (onde x^{2}-4\neq0). Não foram fornecidas figuras nem valores adicionais.

Passo 2

Domínio e continuidade — o denominador é x^{2}-4. Onde ele é zero temos possíveis problemas:
x^{2}-4=0 \Longrightarrow x=\pm 2.
Logo o domínio é \mathbb{R}\setminus\{\,-2,2\,\}. Em todo ponto do domínio a função é uma razão de polinômios e, portanto, é contínua. Os pontos x=\pm2 não pertencem ao domínio e são candidatos a assíntotas verticais.
(Explicação curta sobre domínio: para funções racionais p(x)/q(x) só podemos usar x tais que q(x)\neq0.)

Passo 3

Interceptos com os eixos — calcular f(0) para achar intercepto com o eixo y e possíveis zeros.
f(0)=\frac{0^{2}}{0^{2}-4}=0.
Portanto a função corta o eixo x e o eixo y em (0,0). (Zero da função: x=0 é o único zero, pois numerador x^{2} só anula em x=0.)

Passo 4

Assíntotas horizontais — comportamento para |x|\to\infty.
Uma forma rápida: dividir termos de maior grau ou reescrever
f(x)=\frac{x^{2}}{x^{2}-4}=1+\frac{4}{x^{2}-4}.
Daí, quando |x|\to\infty, temos \dfrac{4}{x^{2}-4}\to 0. Logo
\lim_{x\to\pm\infty} f(x)=1,
e a assíntota horizontal é y=1.
(Explicação: para funções racionais com mesmo grau no numerador e denominador, a assíntota horizontal é a razão dos coeficientes líderes; aqui ambos têm coeficiente 1, dando y=1.)

Passo 5

Assíntotas verticais — comportamento perto de x=\pm 2.
Como observado no Passo 2, x=\pm2 tornam o denominador zero. Calculamos os limites laterais para ver o tipo de divergência:
Para x\to 2^{-} (aproximando-se de 2 pela esquerda, isto é com |x|<2): x^{2}-4<0 pequeno, x^{2}>0 positivo, então
\lim_{x\to 2^{-}} f(x) = -\infty.
Para x\to 2^{+} (pela direita, |x|>2): x^{2}-4>0 pequeno, então
\lim_{x\to 2^{+}} f(x) = +\infty.
Para x\to -2^{+} (aproximando-se de -2 vindo do lado direito, isto é com |x|<2): x^{2}-4<0 pequeno, então
\lim_{x\to -2^{+}} f(x) = -\infty.
Para x\to -2^{-} (vindo do lado esquerdo, |x|>2): x^{2}-4>0 pequeno, então
\lim_{x\to -2^{-}} f(x) = +\infty.
Portanto x=-2 e x=2 são assíntotas verticais (com comportamentos divergentes opostos nos lados).

Passo 6

Derivada primeira — obter monotonicidade e extremos.
É conveniente usar a forma \,f(x)=1+\dfrac{4}{x^{2}-4}\,. Derivando usando a regra da cadeia:
Se g(x)=(x^{2}-4)^{-1}, então g'(x)=-1\cdot (x^{2}-4)^{-2}\cdot 2x=-\dfrac{2x}{(x^{2}-4)^{2}}.
Assim
f'(x)=4\cdot g'(x)=4\left(-\frac{2x}{(x^{2}-4)^{2}}\right)=-\frac{8x}{(x^{2}-4)^{2}}.
(Explicação sobre derivada: usamos a regra da cadeia porque derivamos uma potência negativa de uma função interna; o denominador ao quadrado aparece porque (x^{2}-4)^{-2}=(x^{2}-4)^{2} no denominador.)

Passo 7

Críticos e sinais de f'.
Solução de f'(x)=0:
-\frac{8x}{(x^{2}-4)^{2}}=0 \Longrightarrow x=0
(denominador não zera para x\neq\pm2). Derivada é indefinida em x=\pm2 mas esses pontos não pertencem ao domínio.
Análise do sinal: (x^{2}-4)^{2}>0 para todo x\neq\pm2. Portanto o sinal de f' é o sinal de -8x, ou seja:
  • Para x<0: -8x>0 então f'(x)>0 (função crescente).
  • Para x>0: -8x<0 então f'(x)<0 (função decrescente).
Conclusão: em x=0 a função passa de crescente para decrescente, logo x=0 é um máximo relativo. O valor é f(0)=0, então ponto de máximo relativo em \bigl(0,0\bigr).

Passo 8

Extremos absolutos? — comparar com comportamento em assíntotas e infinito.
Como \lim_{x\to 2^{+}} f(x)=+\infty e \lim_{x\to -2^{-}} f(x)=+\infty e também \lim_{x\to\pm\infty} f(x)=1, vemos que existem valores de f maiores que 0. Além disso, a função atinge valores arbitrariamente negativos perto de x=\pm2 vindos do lado interno (tendendo a -\infty), então não existe mínimo absoluto (nem máximo absoluto finito). Portanto:
  • Máximo relativo: em \bigl(0,0\bigr).
  • Não há máximo absoluto nem mínimo absoluto.

Passo 9

Derivada segunda — concavidade e pontos de inflexão.
Partimos de f'(x)=-8x(x^{2}-4)^{-2}. Derivando (produto + regra da cadeia), obtém-se, passo a passo:
Derivando -8x -8 multiplicado por (x^{2}-4)^{-2} e somando -8x vezes a derivada de (x^{2}-4)^{-2}, que é -2\cdot (x^{2}-4)^{-3}\cdot 2x = -4x(x^{2}-4)^{-3}. Fazendo as contas:
f''(x)=-8(x^{2}-4)^{-2} + 32x^{2}(x^{2}-4)^{-3}.
Fatorando (x^{2}-4)^{-3} obtemos
f''(x)=\frac{8\bigl(3x^{2}+4\bigr)}{(x^{2}-4)^{3}}.
(Explicação: fatoramos para ver claramente o sinal. Note que 3x^{2}+4>0 para todo x, portanto o sinal de f'' é o sinal de (x^{2}-4)^{3}.)

Passo 10

Interpretação da segunda derivada — concavidade.
  • Para |x|>2 temos x^{2}-4>0, então (x^{2}-4)^{3}>0 e f''(x)>0: a função é côncava para cima em (-\infty,-2) e em (2,\infty).
  • Para |x|<2 temos x^{2}-4<0, então (x^{2}-4)^{3}<0 e f''(x)<0: a função é côncava para baixo em (-2,2).
Pontos de inflexão exigem mudança de concavidade em um ponto do domínio, normalmente onde f''(x)=0 ou f'' não está definida. Aqui f''(x)=0 nunca ocorre porque 3x^{2}+4>0 sempre. Os únicos pontos onde f'' é indefinida são x=\pm2, mas esses pontos não pertencem ao domínio. Assim, não há pontos de inflexão na função (nenhum ponto do domínio onde a concavidade mude de forma contínua).

Passo 11

Resumo do comportamento por intervalos (útil para esboçar):
  • Intervalo (-\infty,-2): f>1, crescente (porque x<0 f'>0), côncava para cima; quando x\to -\infty tende a 1^{+}; quando x\to -2^{-} tende a +\infty.
  • Próximo ao assíntota x=-2 vindo de dentro (-2,2): f\to -\infty.
  • Intervalo (-2,0): f<0 (pois denominador negativo), crescente, côncava para baixo; sobe até (0,0).
  • Ponto (0,0): máximo relativo.
  • Intervalo (0,2): decrescente, côncava para baixo, tende a -\infty quando x\to 2^{-}.
  • Intervalo (2,\infty): decrescente (pois x>0 f'<0), côncava para cima, tende a +\infty quando x\to 2^{+} e a 1^{+} quando x\to+\infty.
Com essas informações você consegue esboçar o gráfico: duas ramificações para |x|>2 acima de y=1 (cada uma com assimptota vertical em x=\pm2 e horizontal y=1) e um ramo entre -2 e 2 que é negativo na maior parte, com um pico em (0,0) e indo a -\infty nos extremos \pm2.

Resposta

Assíntotas verticais: x=-2 e x=2
Assíntota horizontal: y=1
Extremo relativo: máximo em \bigl(0,0\bigr)
Extremos absolutos: nenhum
Pontos de inflexão: nenhum

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