- Esboce o gráfico da função
, dada por
indicando os extremos, relativos e absolutos, caso tenha, e os pontos de inflexão do gráfico. Além disso, indiquem, caso existam, as assíntotas verticais e horizontais do gráfico da função (
ponto)
Passo 1
O enunciado dá a função
definida em
salvo pontos que façam o denominador zero. Pede-se:
- Esboçar o gráfico de
. - Indicar as assíntotas verticais e horizontais (se existirem).
- Indicar extremos (relativos e absolutos, se houver).
- Indicar pontos de inflexão do gráfico.
Informações relevantes dadas pelo enunciado: a expressão algébrica de
(função racional) e o domínio natural implícito (onde
). Não foram fornecidas figuras nem valores adicionais.
Passo 2
Domínio e continuidade — o denominador é
. Onde ele é zero temos possíveis problemas:
Logo o domínio é
. Em todo ponto do domínio a função é uma razão de polinômios e, portanto, é contínua. Os pontos
não pertencem ao domínio e são candidatos a assíntotas verticais.
(Explicação curta sobre domínio: para funções racionais
só podemos usar
tais que
.)
Passo 3
Interceptos com os eixos — calcular
para achar intercepto com o eixo
e possíveis zeros.
Portanto a função corta o eixo
e o eixo
em
. (Zero da função:
é o único zero, pois numerador
só anula em
.)
Passo 4
Assíntotas horizontais — comportamento para
.
Uma forma rápida: dividir termos de maior grau ou reescrever
Daí, quando
, temos
. Logo
e a assíntota horizontal é
.
(Explicação: para funções racionais com mesmo grau no numerador e denominador, a assíntota horizontal é a razão dos coeficientes líderes; aqui ambos têm coeficiente 1, dando
.)
Passo 5
Assíntotas verticais — comportamento perto de
.
Como observado no Passo 2,
tornam o denominador zero. Calculamos os limites laterais para ver o tipo de divergência:
Para
(aproximando-se de
pela esquerda, isto é com
):
pequeno,
positivo, então
Para
(pela direita,
):
pequeno, então
Para
(aproximando-se de
vindo do lado direito, isto é com
):
pequeno, então
Para
(vindo do lado esquerdo,
):
pequeno, então
Portanto
e
são assíntotas verticais (com comportamentos divergentes opostos nos lados).
Passo 6
Derivada primeira — obter monotonicidade e extremos.
É conveniente usar a forma
. Derivando usando a regra da cadeia:
Se
, então
.
Assim
(Explicação sobre derivada: usamos a regra da cadeia porque derivamos uma potência negativa de uma função interna; o denominador ao quadrado aparece porque
no denominador.)
Passo 7
Críticos e sinais de
.
Solução de
:
(denominador não zera para
). Derivada é indefinida em
mas esses pontos não pertencem ao domínio.
Análise do sinal:
para todo
. Portanto o sinal de
é o sinal de
, ou seja:
- Para
: então (função crescente). - Para
: então (função decrescente).
Conclusão: em
a função passa de crescente para decrescente, logo
é um máximo relativo. O valor é
, então ponto de máximo relativo em
.
Passo 8
Extremos absolutos? — comparar com comportamento em assíntotas e infinito.
Como
e
e também
, vemos que existem valores de
maiores que
. Além disso, a função atinge valores arbitrariamente negativos perto de
vindos do lado interno (tendendo a
), então não existe mínimo absoluto (nem máximo absoluto finito). Portanto:
- Máximo relativo: em
. - Não há máximo absoluto nem mínimo absoluto.
Passo 9
Derivada segunda — concavidade e pontos de inflexão.
Partimos de
. Derivando (produto + regra da cadeia), obtém-se, passo a passo:
Derivando
dá
multiplicado por
e somando
vezes a derivada de
, que é
. Fazendo as contas:
Fatorando
obtemos
(Explicação: fatoramos para ver claramente o sinal. Note que
para todo
, portanto o sinal de
é o sinal de
.)
Passo 10
Interpretação da segunda derivada — concavidade.
- Para
temos , então e : a função é côncava para cima em e em . - Para
temos , então e : a função é côncava para baixo em .
Pontos de inflexão exigem mudança de concavidade em um ponto do domínio, normalmente onde
ou
não está definida. Aqui
nunca ocorre porque
sempre. Os únicos pontos onde
é indefinida são
, mas esses pontos não pertencem ao domínio. Assim, não há pontos de inflexão na função (nenhum ponto do domínio onde a concavidade mude de forma contínua).
Passo 11
Resumo do comportamento por intervalos (útil para esboçar):
- Intervalo
: , crescente (porque dá ), côncava para cima; quando tende a ; quando tende a . - Próximo ao assíntota
vindo de dentro : . - Intervalo
: (pois denominador negativo), crescente, côncava para baixo; sobe até . - Ponto
: máximo relativo. - Intervalo
: decrescente, côncava para baixo, tende a quando . - Intervalo
: decrescente (pois dá ), côncava para cima, tende a quando e a quando .
Com essas informações você consegue esboçar o gráfico: duas ramificações para
acima de
(cada uma com assimptota vertical em
e horizontal
) e um ramo entre
e
que é negativo na maior parte, com um pico em
e indo a
nos extremos
.
Resposta
Assíntotas verticais:
e
Assíntota horizontal:
Extremo relativo: máximo em
Extremos absolutos: nenhum
Pontos de inflexão: nenhum