[10] Determinine f^prime(x0), onde f(x)=y >= 0 é uma função dada implicitamente.
x^2+x y+y^2=3, x0=1

Passo 1

O enunciado pede a derivada f'(x0) de uma função f(x)=y (com y>=0) definida implicitamente pela equação
x^2+x,y+y^2=3,
avaliada em x0=1. Vamos usar o método de diferenciação implícita para encontrar dydx.

Passo 2

Para achar o ponto (x0,y0) em que vamos avaliar a derivada, substituímos x=1 na equação e resolvemos em y:
1^2+1cdot y + y^2=3 Longrightarrow y^2+y-2=0
As raízes são y=-2 e y=1, mas como y>=0 deve valer y0=1.

Passo 3

Agora diferenciamos implicitamente a equação em relação a x. Temos
ddxl(x^2r) +ddxl(x,yr) +ddxl(y^2r) =0
Isso dá
2x + l(y + x,y'r) + 2y,y' = 0,
onde y'=dydx. Agrupando os termos com y',
2x + y + x,y' + 2y,y' = 0 Longrightarrow (x + 2y),y' = -(2x + y)
Logo,
y' = -2x+y,x+2y,

Passo 4

Basta avaliar essa expressão em x0=1 e y0=1:
y'(1) = -2cdot1 + 11 + 2cdot1 = -33 = -1

Resposta

f'(1) = -1

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