[8] Dentre todas as retas tangentes ao gráfico de f(x)=x^2+1x-1, determine a única que passa pelo ponto (1,0).

Passo 1

O enunciado pede a reta tangente ao gráfico de
f(x)=x^2+1x-1
que passe pelo ponto (1,0). Para isso vamos usar derivada para obter a inclinação da tangente em um ponto genérico x0, escrever a equação da reta tangente em função de x0 e impor que ela contenha (1,0).

Passo 2

Calculamos a derivada de f por quociente:
f'(x) = (2x)(x-1)-(x^2+1)cdot1(x-1)^2 = 2x^2-2x -x^2-1(x-1)^2 = x^2-2x-1(x-1)^2

Passo 3

A reta tangente em x0 é
y - f(x0) = f'(x0),(x - x0)
Exigimos que o ponto (1,0) satisfaça essa equação, ou seja,
0 - f(x0) = f'(x0),(1 - x0)

Passo 4

Substituindo f(x0)=x0^2+1x0-1 e f'(x0)=x0^2-2x0-1(x0-1)^2, obtemos
-x0^2+1x0-1 = x0^2-2x0-1(x0-1)^2,(1 - x0) = -x0^2-2x0-1x0-1
Multiplicando ambos os lados por -(x0-1) (que é não nulo), vem
x0^2+1 = x0^2-2x0-1 Longrightarrow 1 = -2x0-1 Longrightarrow x0=-1

Passo 5

Para x0=-1 temos
f(-1)=(-1)^2+1-1-1=2-2=-1, f'(-1)=(-1)^2-2(-1)-1(-1-1)^2=1+2-14=12
Então a reta tangente é
y - (-1) = tfrac12,(x - (-1)) Longrightarrow y+1 = tfrac12(x+1) Longrightarrow y = tfrac12x - tfrac12

Resposta

A única reta tangente ao gráfico de f que passa por (1,0) é
boxedy = x2 - 12

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