10 Um disco de CD, com raio 3,0 cm recebe uma camada de tinta carregada. Como resultado, ele adquire uma densidade superficial de carga que varia continuamente com a distância até seu centro de acordo com a expressão sigma=-(6,0 C m^-1). Qual o potential elétrico a uma altura de 4 cm acima do centro do disco?

Passo 1

O enunciado dá um disco de raio R=3,0;cm=0,03;m, e diz que a densidade superficial de carga varia com a distância r ao centro segundo
sigma(r) = -alpha,r
com alpha = 6,0;C,m^-1. Pede-se o potencial elétrico V no ponto sobre o eixo do disco a uma altura z=4,0;cm=0,04;m.
Conteúdo: potencial de distribuição contínua de carga sobre superfície, integração em coordenadas cilíndricas.

Passo 2

Dividimos o disco em anéis de raio r e espessura dr. Cada anel tem carga
dQ = sigma(r),dA = l(-alpha,rr),(2pi r,dr) = -2pialpha,r^2,dr
O potencial gerado por esse anel no ponto sobre o eixo a distância z é
dV = 14pivarepsilon0,dQraizr^2+z^2 =-2pialpha4pivarepsilon0,r^2,drraizr^2+z^2 =,-alpha2varepsilon0,r^2,drraizr^2+z^2

Passo 3

Somamos (integramos) de r=0 a r=R:
V = -alpha2varepsilon0integral0^Rr^2raizr^2+z^2,dr
Usamos a primitivação
integral r^2raizr^2+z^2,dr =12l[rraizr^2+z^2-z^2lnl(r+raizr^2+z^2r)r]
Logo,
V = -alpha2varepsilon0cdot12 l[RraizR^2+z^2-z^2lnR+raizR^2+z^2zr] =-alpha4varepsilon0l[RraizR^2+z^2-z^2lnR+raizR^2+z^2zr]

Passo 4

Substituindo alpha=6,0;C,m^-1, R=0,03;m, z=0,04;m, varepsilon0=8,85times10^-12;F/m:
Calcule
A = RraizR^2+z^2 =0,03raiz(0,03)^2+(0,04)^2 =0,03cdot0,05=1,5times10^-3,
B = z^2lnR+raizR^2+z^2z =(0,04)^2ln0,03+0,050,04 =1,6times10^-3ln2 approx1,6times10^-3times0,693=1,109times10^-3
Então
V = -6,04cdot8,85times10^-12,(A - B) =-6,03,54times10^-11;(1,5-1,109)times10^-3 approx -6,6times10^7;V

Resposta

V approx -6,6times10^7;V

Exercícios relacionados