10- Dividir o número 210 em partes inversamente proporcionais a 3,5 e 6 .

Passo 1

O enunciado pede que o número 210 seja dividido em três partes que sejam inversamente proporcionais aos números 3, 5 e 6.
Informações dadas:
  • Total a dividir: 210.
  • Proporções inversas aos números: 3,\;5,\;6.
    O que se pede: encontrar as três partes (ou seja, os três números positivos cuja soma é 210 e que satisfazem a condição de proporcionalidade inversa indicada).

Passo 2

Entendendo “inversamente proporcionais”: se três partes x,\;y,\;z são inversamente proporcionais a 3,\;5,\;6, isso significa que
x : y : z = \frac{1}{3} : \frac{1}{5} : \frac{1}{6}.
Uma forma prática de trabalhar com isso é introduzir uma constante de proporcionalidade k e escrever
x = k\cdot\frac{1}{3},\qquad y = k\cdot\frac{1}{5},\qquad z = k\cdot\frac{1}{6}.
Aqui k é um número que ainda não sabemos, e essas expressões garantem que as razões entre x,y,z são as mesmas que entre \tfrac{1}{3},\tfrac{1}{5},\tfrac{1}{6}.

Passo 3

Como a soma das partes é 210, substituímos as expressões em termos de k na soma:
k\!\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}\right)=210.
Calculando a soma das frações. Usamos denominador comum 30:
\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}=\frac{10}{30}+\frac{6}{30}+\frac{5}{30}=\frac{21}{30}=\frac{7}{10}.
Portanto a equação fica
k\cdot\frac{7}{10}=210.
Isolando k:
k = 210\cdot\frac{10}{7}=30\cdot10=300.

Passo 4

Agora que temos k=300, calculamos cada parte:
x = 300\cdot\frac{1}{3}=\frac{300}{3}=100,
y = 300\cdot\frac{1}{5}=\frac{300}{5}=60,
z = 300\cdot\frac{1}{6}=\frac{300}{6}=50.
Verificação rápida da soma:
100+60+50=210,
logo está consistente com o enunciado.

Passo 5

Resumo didático rápido (para fixar o método): quando se pede dividir um total em partes inversamente proporcionais a números a,b,c, transforme em partes proporcionais a \tfrac{1}{a},\tfrac{1}{b},\tfrac{1}{c}. Ou seja, escreva cada parte como k vezes a respectiva recíproca; some, encontre k a partir do total e então calcule as partes. Exemplo pequeno: dividir 60 inversamente proporcional a 2 e 3. Recíprocos \tfrac{1}{2},\tfrac{1}{3}; soma \tfrac{5}{6}; k=60/(5/6)=72; partes 72/2=36 e 72/3=24.

Resposta

Primeira parte: 100
Segunda parte: 60
Terceira parte: 50

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