12- Carlos, Daniel e João resolveram aplicar em um fundo de investimento, que exigia um capital inicial de \mathrm{R} \ 100 mil. Carlos deu\mathrm{R} $50 mil, Daniel\mathrm{R} $ 30 mil e João Rã$20 mil. Ao final do período de carência do plano, eles resolveram sacar o dinheiro. O valor eraíê\mathrm{R} $ 120$ mil. Quanto cada um retirou?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede quanto cada um retirou no final:
  • Capital inicial exigido pelo fundo: \mathrm{R}\$100{,}000.
  • Contribuições individuais:
    • Carlos: \mathrm{R}\$50{,}000.
    • Daniel: \mathrm{R}\$30{,}000.
    • João: \mathrm{R}\$20{,}000.
  • Valor final sacado: \mathrm{R}\$120{,}000.
O que o problema pede: determinar quanto, em reais, cada um retirou ao final (ou seja, a parte de \mathrm{R}\$120{,}000 que cabe a cada um).

Passo 2

Entendendo o método (ideia principal, explicada passo a passo):
  • Quando várias pessoas investem juntas e combinam dividir o que vier proporcionalmente ao que cada uma colocou, a regra é: cada pessoa recebe uma fração do total final igual à sua fração do capital inicial total.
  • Se as contribuições são \,a,b,c e o total final é T, então a parte de quem contribuiu a é dada por
\text{parte de }a = T\cdot\frac{a}{a+b+c}.
  • Aqui as variáveis significam:
    • a: aporte de uma pessoa (por exemplo, o aporte de Carlos).
    • a+b+c: soma dos aportes (o capital inicial total).
    • T: valor final disponível para sacar.
  • Aplicamos essa fórmula porque o lucro (ou perda) é dividido segundo a proporção do capital investido por cada um — é a forma mais justa e a mais usada em provas.

Passo 3

Calcular as frações do capital inicial de cada um (uso direto dos valores dados):
  • Soma dos aportes:
50{,}000+30{,}000+20{,}000=100{,}000.
  • Fração de Carlos:
\frac{50{,}000}{100{,}000}=\frac{50}{100}=\frac{1}{2}.
  • Fração de Daniel:
\frac{30{,}000}{100{,}000}=\frac{30}{100}=\frac{3}{10}.
  • Fração de João:
\frac{20{,}000}{100{,}000}=\frac{20}{100}=\frac{1}{5}.
(Dica: notar que \tfrac{1}{2}+\tfrac{3}{10}+\tfrac{1}{5}=1, então as frações cobrem todo o capital.)

Passo 4

Aplicar as frações ao montante final \mathrm{R}\$120{,}000 para achar o que cada um retira:
  • Parte de Carlos:
\mathrm{R}\$120{,}000\cdot\frac{1}{2}=\mathrm{R}\$60{,}000.
  • Parte de Daniel:
\mathrm{R}\$120{,}000\cdot\frac{3}{10}=\mathrm{R}\$12{,}000\cdot3=\mathrm{R}\$36{,}000.
  • Parte de João:
\mathrm{R}\$120{,}000\cdot\frac{1}{5}=\mathrm{R}\$24{,}000.

Passo 5

Verificação rápida (sempre faça isso na prova para evitar erro de dedo):
\mathrm{R}\$60{,}000+\mathrm{R}\$36{,}000+\mathrm{R}\$24{,}000=\mathrm{R}\$120{,}000,
ou seja, a soma das partes confere com o total final — resultado consistente.

Passo 6

Resumo final e incentivo: dividimos o total final na mesma proporção das contribuições iniciais. Se entrar em pânico na prova, lembra desse atalho: calcule a fração de cada um no capital inicial e multiplique pelo montante final — simples e rápido. Vai dar certo!

Resposta

Carlos: \mathrm{R}\$60{,}000
Daniel: \mathrm{R}\$36{,}000
João: \mathrm{R}\$24{,}000

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