11- Dividir o número 200 em partes diretamente proporcionais a 2 e 3.

Passo 1

O enunciado pede que o número 200 seja dividido em duas partes que sejam diretamente proporcionais a 2 e 3. Informações dadas:
  • Total a dividir: 200.
  • Razões (proporções) das duas partes: 2 e 3.
  • Pergunta: quais são as duas partes (ou seja, os dois números positivos que somam 200 e estão na razão 2:3)?

Passo 2

O que significa "diretamente proporcionais a 2 e 3"?
Significa que as duas partes mantêm a razão 2:3. Isso podemos escrever assim: se chamarmos as partes de x e y, então
\frac{x}{y}=\frac{2}{3}.
Outra forma prática de usar essa ideia é introduzir um multiplicador comum k (às vezes chamado de “termo proporcional”): existe k tal que
x=2k\quad\text{e}\quad y=3k.
Aqui k é um número que “escala” a razão 2:3 para obter os valores reais x e y.

Passo 3

Usamos a informação de que as duas partes somam 200:
x+y=200.
Substituindo x=2k e y=3k obtemos uma equação apenas em k:
2k+3k=200.
Agora somamos os termos parecidos:
5k=200.

Passo 4

Para encontrar k dividimos ambos os lados por 5:
k=\frac{200}{5}=40.
Explicando passo a passo: como as partes são 2k e 3k e o total é a soma 2k+3k, dividir o total pela soma dos coeficientes 2+3=5 dá justamente o valor de k. É uma técnica geral: primeiro some os números das razões, depois divida o total por essa soma para achar o fator k.

Passo 5

Agora calculamos as duas partes usando o valor de k:
x=2k=2\cdot40,
y=3k=3\cdot40.
Fazendo as multiplicações obtém‑se os valores de cada parte. É sempre bom conferir que a soma volta a dar 200.

Passo 6

Verificação rápida (para ter certeza): calcule a soma x+y com os valores obtidos e confirme que dá 200, e confirme também que a razão x:y é 2:3. Isso garante que não houve erro aritmético.

Passo 7

Forma alternativa e fórmula geral (útil na prova): sem usar k, pode-se usar a fração direta
x=\frac{2}{2+3}\cdot 200,\qquad y=\frac{3}{2+3}\cdot 200.
Em geral, para dividir um total T em partes proporcionais a r_1,r_2,\dots,r_n, a parte correspondente a r_i é
\text{parte}_i=\frac{r_i}{\sum_{j} r_j}\;T.
Dica de prova: anote a soma dos coeficientes, divida o total por essa soma e multiplique pelo coeficiente desejado — rápido e sem erro.

Resposta

80
120

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