11- Dividir o número 200 em partes diretamente proporcionais a 2 e 3.
Passo 1
O enunciado pede que o número
seja dividido em duas partes que sejam diretamente proporcionais a
e
. Informações dadas:
- Total a dividir:
. - Razões (proporções) das duas partes:
e . - Pergunta: quais são as duas partes (ou seja, os dois números positivos que somam
e estão na razão )?
Passo 2
O que significa "diretamente proporcionais a
e
"?
Significa que as duas partes mantêm a razão . Isso podemos escrever assim: se chamarmos as partes de
e
, então
Significa que as duas partes mantêm a razão
Outra forma prática de usar essa ideia é introduzir um multiplicador comum
(às vezes chamado de “termo proporcional”): existe
tal que
Aqui
é um número que “escala” a razão
para obter os valores reais
e
.
Passo 3
Usamos a informação de que as duas partes somam
:
Substituindo
e
obtemos uma equação apenas em
:
Agora somamos os termos parecidos:
Passo 4
Para encontrar
dividimos ambos os lados por
:
Explicando passo a passo: como as partes são
e
e o total é a soma
, dividir o total pela soma dos coeficientes
dá justamente o valor de
. É uma técnica geral: primeiro some os números das razões, depois divida o total por essa soma para achar o fator
.
Passo 5
Agora calculamos as duas partes usando o valor de
:
Fazendo as multiplicações obtém‑se os valores de cada parte. É sempre bom conferir que a soma volta a dar
.
Passo 6
Verificação rápida (para ter certeza): calcule a soma
com os valores obtidos e confirme que dá
, e confirme também que a razão
é
. Isso garante que não houve erro aritmético.
Passo 7
Forma alternativa e fórmula geral (útil na prova): sem usar
, pode-se usar a fração direta
Em geral, para dividir um total
em partes proporcionais a
, a parte correspondente a
é
Dica de prova: anote a soma dos coeficientes, divida o total por essa soma e multiplique pelo coeficiente desejado — rápido e sem erro.