Encontre o valor da divergência de, no ponto P\left(2, \theta=30^{\circ}, \varphi=90^{\circ}\right), para os campos:
\vec{D}=\operatorname{sen}^{2} \theta \operatorname{sen} \varphi \vec{a} r+\operatorname{sen} 2 \theta \operatorname{sen} \varphi \vec{a} \theta+\operatorname{sen} \theta \cos \varphi \vec{a} \varphi

Passo 1

O enunciado pede: calcular a divergência de um campo vetorial no ponto P\left(2,\\ \theta=30^\circ,\\ \varphi=90^\circ\right). O campo dado é
\vec{D}=\sin^{2}\theta\,\sin\varphi\,\vec a_{r}+\sin 2\theta\,\sin\varphi\,\vec a_{\theta}+\sin\theta\,\cos\varphi\,\vec a_{\varphi}.
Informações relevantes fornecidas:
  • As componentes em coordenadas esféricas são D_{r}=\sin^{2}\theta\,\sin\varphi,\qquad D_{\theta}=\sin 2\theta\,\sin\varphi,\qquad D_{\varphi}=\sin\theta\,\cos\varphi.
  • O ponto onde se avalia é r=2, \theta=30^\circ e \varphi=90^\circ.
    A tarefa é obter \nabla\!\cdot\!\vec{D} nesse ponto.

Passo 2

Lembrando a fórmula que vamos usar (escrevo e explico cada parte): para um campo em coordenadas esféricas \vec V=V_{r}\vec a_{r}+V_{\theta}\vec a_{\theta}+V_{\varphi}\vec a_{\varphi}, a divergência é
\nabla\!\cdot\!\vec V=\frac{1}{r^{2}}\frac{\partial}{\partial r}\big(r^{2}V_{r}\big) +\frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}\big(\sin\theta\,V_{\theta}\big) +\frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial V_{\varphi}}{\partial\varphi}.
O que cada símbolo significa:
  • r,\theta,\varphi são as coordenadas esféricas (aqui \theta é o ângulo polar/colatitude, medido a partir do eixo z).
  • V_{r},V_{\theta},V_{\varphi} são as componentes do campo nas direções \vec a_{r},\vec a_{\theta},\vec a_{\varphi}.
  • As derivadas parciais \partial/\partial r,\\ \partial/\partial\theta,\\ \partial/\partial\varphi atuam apenas nas variáveis indicadas, tratando as outras como constantes.
Comentário prático: como as componentes do nosso \vec D não dependem de r, o termo com \partial/\partial r ficará simples.

Passo 3

Calculo o primeiro termo da divergência:
\frac{1}{r^{2}}\frac{\partial}{\partial r}\big(r^{2}D_{r}\big) =\frac{1}{r^{2}}\frac{\partial}{\partial r}\big(r^{2}\sin^{2}\theta\,\sin\varphi\big).
Aqui \sin^{2}\theta\sin\varphi é independente de r, então ao derivar em relação a r obtemos
\frac{\partial}{\partial r}\big(r^{2}\sin^{2}\theta\,\sin\varphi\big)=2r\sin^{2}\theta\,\sin\varphi.
Portanto
\frac{1}{r^{2}}\frac{\partial}{\partial r}\big(r^{2}D_{r}\big)=\frac{2r\sin^{2}\theta\,\sin\varphi}{r^{2}}=\frac{2}{r}\sin^{2}\theta\,\sin\varphi.

Passo 4

Calculo o segundo termo:
\frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}\big(\sin\theta\,D_{\theta}\big) =\frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}\big(\sin\theta\cdot\sin 2\theta\,\sin\varphi\big).
Retiro o \sin\varphi (que é constante em relação a \theta):
\sin\theta\cdot\sin 2\theta=\sin\theta\cdot 2\sin\theta\cos\theta=2\sin^{2}\theta\cos\theta.
Agora derivo em \theta:
\frac{\partial}{\partial\theta}\big(2\sin^{2}\theta\cos\theta\big) =2\big( \underbrace{\frac{d}{d\theta}(\sin^{2}\theta)}_{=2\sin\theta\cos\theta}\cdot\cos\theta +\sin^{2}\theta\cdot\underbrace{\frac{d}{d\theta}(\cos\theta)}_{=-\sin\theta}\big).
Simplificando:
=2\big(2\sin\theta\cos^{2}\theta - \sin^{3}\theta\big) =4\sin\theta\cos^{2}\theta -2\sin^{3}\theta.
Dividindo por r\sin\theta e lembrando o fator \sin\varphi que estava fora:
\frac{1}{r\sin\theta}\big(4\sin\theta\cos^{2}\theta -2\sin^{3}\theta\big)\sin\varphi =\frac{1}{r}\big(4\cos^{2}\theta -2\sin^{2}\theta\big)\sin\varphi.
Posso por conveniência fatorar 2\sin\varphi:
=\frac{2}{r}\big(2\cos^{2}\theta-\sin^{2}\theta\big)\sin\varphi.

Passo 5

Calculo o terceiro termo:
\frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial D_{\varphi}}{\partial\varphi} =\frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\varphi}\big(\sin\theta\cos\varphi\big).
Aqui \sin\theta é constante em relação a \varphi, então
\frac{\partial}{\partial\varphi}\big(\sin\theta\cos\varphi\big)=\sin\theta\cdot(-\sin\varphi)=-\sin\theta\sin\varphi.
Dividindo por r\sin\theta
\frac{1}{r\sin\theta}\big(-\sin\theta\sin\varphi\big)=-\frac{1}{r}\sin\varphi.

Passo 6

Somando os três termos da divergência:
\nabla\!\cdot\!\vec D =\frac{2}{r}\sin^{2}\theta\,\sin\varphi +\frac{2}{r}\big(2\cos^{2}\theta-\sin^{2}\theta\big)\sin\varphi -\frac{1}{r}\sin\varphi.
Fatorando \dfrac{1}{r}\sin\varphi:
\nabla\!\cdot\!\vec D=\frac{1}{r}\sin\varphi\big(2\sin^{2}\theta+2(2\cos^{2}\theta-\sin^{2}\theta)-1\big).
Dentro dos parênteses simplifica-se:
2\sin^{2}\theta+4\cos^{2}\theta-2\sin^{2}\theta-1=4\cos^{2}\theta-1.
Logo uma forma compacta é
\nabla\!\cdot\!\vec D=\frac{1}{r}\sin\varphi\big(4\cos^{2}\theta-1\big).

Passo 7

Agora avalio no ponto P com r=2, \theta=30^\circ, \varphi=90^\circ.
  • \cos 30^\circ=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow \cos^{2}30^\circ=\dfrac{3}{4}.
  • \sin 90^\circ=1.
    Substituindo:
4\cos^{2}\theta-1=4\cdot\frac{3}{4}-1=3-1=2.
Então
\nabla\!\cdot\!\vec D\big|_{P}=\frac{1}{r}\cdot 1\cdot 2=\frac{2}{r}=\frac{2}{2}=1.

Resposta

\,1

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