Encontre o valor da divergência de, no ponto P\left(2, \theta=30^{\circ}, \varphi=90^{\circ}\right), para os campos: \vec{D}=\operatorname{sen}^{2} \theta \operatorname{sen} \varphi \vec{a} r+\operatorname{sen} 2 \theta \operatorname{sen} \varphi \vec{a} \theta+\operatorname{sen} \theta \cos \varphi \vec{a} \varphi
Passo 1
O enunciado pede: calcular a divergência de um campo vetorial no ponto P\left(2,\\ \theta=30^\circ,\\ \varphi=90^\circ\right). O campo dado é
As componentes em coordenadas esféricas sãoD_{r}=\sin^{2}\theta\,\sin\varphi,\qquad D_{\theta}=\sin 2\theta\,\sin\varphi,\qquad D_{\varphi}=\sin\theta\,\cos\varphi.
O ponto onde se avalia é r=2, \theta=30^\circ e \varphi=90^\circ.
A tarefa é obter \nabla\!\cdot\!\vec{D} nesse ponto.
Passo 2
Lembrando a fórmula que vamos usar (escrevo e explico cada parte): para um campo em coordenadas esféricas \vec V=V_{r}\vec a_{r}+V_{\theta}\vec a_{\theta}+V_{\varphi}\vec a_{\varphi}, a divergência é
r,\theta,\varphi são as coordenadas esféricas (aqui \theta é o ângulo polar/colatitude, medido a partir do eixo z).
V_{r},V_{\theta},V_{\varphi} são as componentes do campo nas direções \vec a_{r},\vec a_{\theta},\vec a_{\varphi}.
As derivadas parciais \partial/\partial r,\\ \partial/\partial\theta,\\ \partial/\partial\varphi atuam apenas nas variáveis indicadas, tratando as outras como constantes.
Comentário prático: como as componentes do nosso \vec D não dependem de r, o termo com \partial/\partial r ficará simples.