P5.10 Um eixo maciço de alumínio tem diâmetro de 50 mm . Determine a tensão de cisalhamento máxima absoluta no eixo e esboce a distribuição de tensão de cisalhamento ao longo de uma linha radial do eixo em que esta tensão é máxima. Use T_{1}=2.000 \mathrm{~N} \cdot \mathrm{~m}.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (1) determinar a tensão de cisalhamento máxima absoluta no eixo; (2) esboçar (descrever) a distribuição dessa tensão ao longo de uma linha radial do eixo em que a tensão é máxima.
Dados fornecidos (vou listar tudo explicitamente):
\;d=50\\ \mathrm{mm} (diâmetro do eixo).
\;T_{1}=2.000\\ \mathrm{N\cdot m} (torque aplicado).
Observações imediatas retiradas do enunciado: o eixo é maciço (seção circular sólida). Não há outras cargas além do torque informado. Vou começar convertendo unidades para o SI, que facilita contas com T em \mathrm{N\cdot m}:
\;d=50\\ \mathrm{mm}=0{,}050\\ \mathrm{m}.
O raio externo do eixo é \;a=\dfrac{d}{2}=0{,}025\\ \mathrm{m}.

Passo 2

Vamos obter a expressão que usaremos para calcular a tensão de cisalhamento. Primeiro precisamos do momento polar de inércia (ou momento de segunda área polar) da seção circular maciça, que chamaremos de J. Definição e cálculo de J para um círculo sólido:
J=\iint_A \rho^{2}\,dA,
onde \rho é a distância radial ao eixo e dA é o elemento de área. Em coordenadas polares dA=\rho\,d\rho\,d\theta. Portanto
J=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{a}\rho^{2}\cdot(\rho\,d\rho)\,d\theta = \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{a}\rho^{3}\,d\rho\,d\theta.
Calculando a integral:
\int_{0}^{a}\rho^{3}\,d\rho=\frac{a^{4}}{4}, \qquad \int_{0}^{2\pi}d\theta=2\pi,
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J=2\pi\cdot\frac{a^{4}}{4}=\frac{\pi a^{4}}{2}.
Explicação curta: J mede a “resistência geométrica” à torção; para um círculo maciço a fórmula fechada é \displaystyle J=\frac{\pi a^{4}}{2}.

Passo 3

Agora a relação entre torque T e tensão de cisalhamento \tau em uma seção circular: pela equilíbrio do torque interno temos que a distribuição de tensão satisfaz
T=\iint_A \tau(\rho)\,\rho\,dA.
Para materiais elásticos lineares sob torção simples (teoria clássica da torção do eixo circular), a tensão de cisalhamento é proporcional à distância radial:
\tau(\rho)=c\,\rho,
onde c é constante de proporcionalidade. Substituindo na expressão do torque:
T=\iint_A (c\,\rho)\,\rho\,dA=c\iint_A \rho^{2}\,dA=c\,J.
Logo c=\dfrac{T}{J} e, portanto, a fórmula fundamental que usaremos é
\boxed{\tau(\rho)=\dfrac{T\,\rho}{J}.}
Dessa expressão vê-se que \tau cresce linearmente com \rho e atinge o máximo na superfície externa \rho=a:
\boxed{\tau_{\max}=\tau(a)=\dfrac{T\,a}{J}.}
Observação útil: substituindo J=\dfrac{\pi a^{4}}{2} obtemos formas alternativas frequentemente usadas:
\tau_{\max}=\dfrac{2T}{\pi a^{3}} \qquad\text{ou}\qquad \tau_{\max}=\dfrac{16T}{\pi d^{3}}.
Essas fórmulas são equivalentes; escolha a mais conveniente para cálculo.

Passo 4

Calculemos J numericamente para o eixo:
a=0{,}025\\ \mathrm{m}\quad\Rightarrow\quad J=\frac{\pi a^{4}}{2}=\frac{\pi(0{,}025)^{4}}{2}.
Faço a^{4}: (0{,}025)^{2}=0{,}000625, depois (0{,}000625)^{2}=3{,}90625\times10^{-7}. Assim
J=\frac{\pi\cdot 3{,}90625\times10^{-7}}{2} = \frac{3{,}90625\times10^{-7}\,\pi}{2}.
Não precisamos do valor de J com muita casas se usarmos a fórmula direta com d, mas já mostramos como J é obtido.

Passo 5

Agora calcule a tensão de cisalhamento máxima usando a forma conveniente com o diâmetro:
\tau_{\max}=\frac{16T}{\pi d^{3}}.
Substituindo \;T=2.000\\ \mathrm{N\cdot m} e \;d=0{,}050\\ \mathrm{m}:
d^{3}=(0{,}050)^{3}=0{,}000125\\ \mathrm{m^{3}}.
\tau_{\max}=\frac{16\cdot 2.000}{\pi\cdot 0{,}000125} =\frac{32.000}{\pi\cdot 0{,}000125}.
Calcule passo a passo: 32.000/0{,}000125=256.000.000. Então
\tau_{\max}=\frac{256.000.000}{\pi}\\ \mathrm{Pa} \approx 8{,}1487330\times10^{7}\\ \mathrm{Pa}.
Convertendo para \mathrm{MPa} (1 MPa = 10^{6} Pa):
\tau_{\max}\approx 81{,}49\\ \mathrm{MPa}.
Arredondando para três algarismos significativos, \tau_{\max}\approx 81{,}5\\ \mathrm{MPa}.

Passo 6

Descrição do esboço da distribuição de \tau ao longo de uma linha radial onde a tensão é máxima:
A fórmula \tau(\rho)=\dfrac{T\,\rho}{J} mostra que \tau é linear em \rho, começando em zero no centro ( \rho=0) e aumentando até \tau_{\max} na superfície ( \rho=a). Para ajudar a desenhar, valores característicos (usando \tau_{\max}=81{,}49\\ \mathrm{MPa}) são:
\;\rho=0\Rightarrow\tau=0.
\;\rho=a/2\Rightarrow\tau=\tfrac{1}{2}\tau_{\max}\approx 40{,}7\\ \mathrm{MPa}.
\;\rho=3a/4\Rightarrow\tau=\tfrac{3}{4}\tau_{\max}\approx 61{,}1\\ \mathrm{MPa}.
Gráfico/forma: reta que parte de (\rho=0,\tau=0) e vai até (\rho=a,\tau=\tau_{\max}). A inclinação da reta é \dfrac{\tau_{\max}}{a}. Em termos práticos para a prova: desenhe um eixo vertical \tau e horizontal \rho de 0 a a e trace uma linha reta passando por esses pontos; no contorno da seção circular a tensão tangencial máxima é \approx 81{,}5\\ \mathrm{MPa}.

Passo 7

Resumo final e verificação rápida: as fórmulas usadas são padrão da teoria da torção para eixo circular maciço e as contas numéricas estão consistentes. Você pode memorizar a forma conveniente
\tau_{\max}=\frac{16T}{\pi d^{3}}
para calcular rápido em prova quando tiver T em \mathrm{N\cdot m} e d em \mathrm{m}. Vai dar certo e é direto — você já tem o procedimento e o esboço da distribuição linear.

Resposta

\tau_{\max}\approx 8{,}1487\times10^{7}\\ \mathrm{Pa}\approx 81{,}5\\ \mathrm{MPa}
\tau(\rho)=\dfrac{T\,\rho}{J} (distribuição linear em \rho, de \tau(0)=0 até \tau(a)=\tau_{\max}).

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