P5.10 Um eixo maciço de alumínio tem diâmetro de 50 mm . Determine a tensão de cisalhamento máxima absoluta no eixo e esboce a distribuição de tensão de cisalhamento ao longo de uma linha radial do eixo em que esta tensão é máxima. Use
.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (1) determinar a tensão de cisalhamento máxima absoluta no eixo; (2) esboçar (descrever) a distribuição dessa tensão ao longo de uma linha radial do eixo em que a tensão é máxima.
Dados fornecidos (vou listar tudo explicitamente):
(diâmetro do eixo).
(torque aplicado).
Observações imediatas retiradas do enunciado: o eixo é maciço (seção circular sólida). Não há outras cargas além do torque informado. Vou começar convertendo unidades para o SI, que facilita contas com em
:
.
O raio externo do eixo é .
Dados fornecidos (vou listar tudo explicitamente):
Observações imediatas retiradas do enunciado: o eixo é maciço (seção circular sólida). Não há outras cargas além do torque informado. Vou começar convertendo unidades para o SI, que facilita contas com
O raio externo do eixo é
Passo 2
Vamos obter a expressão que usaremos para calcular a tensão de cisalhamento. Primeiro precisamos do momento polar de inércia (ou momento de segunda área polar) da seção circular maciça, que chamaremos de
. Definição e cálculo de
para um círculo sólido:
onde
é a distância radial ao eixo e
é o elemento de área. Em coordenadas polares
. Portanto
Calculando a integral:
logo
Explicação curta:
mede a “resistência geométrica” à torção; para um círculo maciço a fórmula fechada é
.
Passo 3
Agora a relação entre torque
e tensão de cisalhamento
em uma seção circular: pela equilíbrio do torque interno temos que a distribuição de tensão satisfaz
Para materiais elásticos lineares sob torção simples (teoria clássica da torção do eixo circular), a tensão de cisalhamento é proporcional à distância radial:
onde
é constante de proporcionalidade. Substituindo na expressão do torque:
Logo
e, portanto, a fórmula fundamental que usaremos é
Dessa expressão vê-se que
cresce linearmente com
e atinge o máximo na superfície externa
:
Observação útil: substituindo
obtemos formas alternativas frequentemente usadas:
Essas fórmulas são equivalentes; escolha a mais conveniente para cálculo.
Passo 4
Calculemos
numericamente para o eixo:
Faço
:
, depois
. Assim
Não precisamos do valor de
com muita casas se usarmos a fórmula direta com
, mas já mostramos como
é obtido.
Passo 5
Agora calcule a tensão de cisalhamento máxima usando a forma conveniente com o diâmetro:
Substituindo
e
:
Calcule passo a passo:
. Então
Convertendo para
(1 MPa =
Pa):
Arredondando para três algarismos significativos,
.
Passo 6
Descrição do esboço da distribuição de
ao longo de uma linha radial onde a tensão é máxima:
A fórmula mostra que
é linear em
, começando em zero no centro (
) e aumentando até
na superfície (
). Para ajudar a desenhar, valores característicos (usando
) são:
.
Gráfico/forma: reta que parte de e vai até
. A inclinação da reta é
. Em termos práticos para a prova: desenhe um eixo vertical
e horizontal
de
a
e trace uma linha reta passando por esses pontos; no contorno da seção circular a tensão tangencial máxima é
.
A fórmula
Gráfico/forma: reta que parte de
Passo 7
Resumo final e verificação rápida: as fórmulas usadas são padrão da teoria da torção para eixo circular maciço e as contas numéricas estão consistentes. Você pode memorizar a forma conveniente
para calcular rápido em prova quando tiver
em
e
em
. Vai dar certo e é direto — você já tem o procedimento e o esboço da distribuição linear.