Calcule a dervida segunda das funções abaixo.
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular a derivada segunda da função
.
Informações dadas e observações iniciais: a função está definida quando o radicando é não negativo, ou seja quando , isto é
. Vamos encontrar
e depois
. Neste passo não vou resolver nada, só deixar claro o que precisamos obter.
Informações dadas e observações iniciais: a função está definida quando o radicando é não negativo, ou seja quando
Passo 2
Primeiro vamos lembrar a regra que vamos usar para derivar uma raiz quadrada: se
, podemos escrever
. A regra da potência diz que a derivada de
em relação a
é
(isso é a combinação da regra da potência com a regra da cadeia). Explicitando:
Aqui
é a derivada da função interna
em relação a
.
Passo 3
Aplicando isso à nossa função, com
. Primeiro calculo
:
Agora uso a fórmula da cadeia para
:
O
do numerador com o
cancelam, ficando
Reescrevendo em forma de raiz, que é mais intuitiva:
Observação sobre domínio: essa expressão só faz sentido quando
, isto é para
. Em
o denominador é zero e a derivada não existe (tendendo ao infinito).
Passo 4
Agora vamos derivar
para obter
. Aqui usamos a regra do produto: se
então
. Tomando
e
:
Passo 5
Calculamos a derivada de
usando a regra da cadeia (potência com função interna):
Substituindo em
obtemos
ou
Passo 6
Agora fazemos a simplificação algébrica: fatoramos o termo comum
. Para isso escrevemos o primeiro termo com o mesmo expoente:
Portanto
Simplificando o numerador:
logo
Passo 7
Reescrevendo em forma de potência positiva no denominador (forma mais comum):
Lembrete final sobre domínio: essa fórmula vale para
, onde
é bem definida e não nula.