Calcule a dervida segunda das funções abaixo.
y=\sqrt{x^{2}-1}

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a derivada segunda da função \displaystyle y=\sqrt{x^{2}-1}.
Informações dadas e observações iniciais: a função está definida quando o radicando é não negativo, ou seja quando \displaystyle x^{2}-1\ge 0, isto é \displaystyle |x|\ge 1. Vamos encontrar \displaystyle y' e depois \displaystyle y''. Neste passo não vou resolver nada, só deixar claro o que precisamos obter.

Passo 2

Primeiro vamos lembrar a regra que vamos usar para derivar uma raiz quadrada: se \displaystyle y=\sqrt{u(x)}, podemos escrever \displaystyle y=(u(x))^{1/2}. A regra da potência diz que a derivada de (u)^{n} em relação a x é n\,u^{\,n-1}\cdot u' (isso é a combinação da regra da potência com a regra da cadeia). Explicitando:
\frac{d}{dx}\bigl((u(x))^{1/2}\bigr)=\frac{1}{2}\, (u(x))^{-1/2}\cdot u'(x).
Aqui u'(x) é a derivada da função interna u(x) em relação a x.

Passo 3

Aplicando isso à nossa função, com \displaystyle u(x)=x^{2}-1. Primeiro calculo u'(x):
u'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}-1\bigr)=2x.
Agora uso a fórmula da cadeia para \displaystyle y=(u)^{1/2}:
y'=\frac{1}{2}\,(x^{2}-1)^{-1/2}\cdot 2x.
O 2 do numerador com o 1/2 cancelam, ficando
y'=\;x\,(x^{2}-1)^{-1/2}.
Reescrevendo em forma de raiz, que é mais intuitiva:
y'=\frac{x}{\sqrt{x^{2}-1}}.
Observação sobre domínio: essa expressão só faz sentido quando \sqrt{x^{2}-1}\neq 0, isto é para |x|>1. Em x=\pm 1 o denominador é zero e a derivada não existe (tendendo ao infinito).

Passo 4

Agora vamos derivar \displaystyle y'=\;x\,(x^{2}-1)^{-1/2} para obter \displaystyle y''. Aqui usamos a regra do produto: se f(x)=a(x)\,b(x) então f'(x)=a'(x)b(x)+a(x)b'(x). Tomando a(x)=x e b(x)=(x^{2}-1)^{-1/2}:
y''=1\cdot (x^{2}-1)^{-1/2} + x\cdot \frac{d}{dx}\bigl((x^{2}-1)^{-1/2}\bigr).

Passo 5

Calculamos a derivada de b(x)=(x^{2}-1)^{-1/2} usando a regra da cadeia (potência com função interna):
\frac{d}{dx}\bigl((x^{2}-1)^{-1/2}\bigr)= -\tfrac{1}{2}(x^{2}-1)^{-3/2}\cdot 2x = -x\,(x^{2}-1)^{-3/2}.
Substituindo em y'' obtemos
y''=(x^{2}-1)^{-1/2} + x\bigl(-x\,(x^{2}-1)^{-3/2}\bigr)
ou
y''=(x^{2}-1)^{-1/2} - x^{2}\,(x^{2}-1)^{-3/2}.

Passo 6

Agora fazemos a simplificação algébrica: fatoramos o termo comum (x^{2}-1)^{-3/2}. Para isso escrevemos o primeiro termo com o mesmo expoente:
(x^{2}-1)^{-1/2}=(x^{2}-1)\,(x^{2}-1)^{-3/2}.
Portanto
y''=\bigl((x^{2}-1)-x^{2}\bigr)\,(x^{2}-1)^{-3/2}.
Simplificando o numerador:
(x^{2}-1)-x^{2}=-1,
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y''=-1\cdot (x^{2}-1)^{-3/2}=-\,(x^{2}-1)^{-3/2}.

Passo 7

Reescrevendo em forma de potência positiva no denominador (forma mais comum):
y''=-\frac{1}{(x^{2}-1)^{3/2}}.
Lembrete final sobre domínio: essa fórmula vale para |x|>1, onde (x^{2}-1)^{3/2} é bem definida e não nula.

Resposta

y''=-\frac{1}{(x^{2}-1)^{3/2}},\quad |x|>1

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