Dê exemplo de uma função definida em
, que não seja contínua em 3, mas que
.
Passo 1
O enunciado pede um exemplo concreto de uma função
que satisfaça duas propriedades:
- Não seja contínua em
. - Tenha limites laterais iguais em
, isto é, .
Informações dadas implicitamente: podemos construir
livremente desde que obedeça as condições acima. A resolução deve mostrar explicitamente que os limites laterais existem e são iguais e que, apesar disso,
não é contínua em
.
Passo 2
Ideia para construir o exemplo (explicação didática): se queremos que as limites laterais existam e sejam iguais, uma forma simples é fazer com que, para todo
diferente de
, a função coincida com uma função contínua em
(por exemplo, a função identidade
). Assim os valores de
ao aproximar de
serão iguais aos da função contínua (logo os limites laterais existem e valem o mesmo). Para tornar
descontínua em
basta definir
com um valor diferente do limite. Esse tipo de salto onde o valor no ponto difere do limite chama-se descontinuidade removível — porque basta redefinir
para o valor do limite para restaurar a continuidade.
Passo 3
Definimos explicitamente a função (exemplo simples e padrão):
Vou agora mostrar passo a passo que esta função satisfaz as condições do enunciado.]
Passo 4
Cálculo do limite pela esquerda
.
Definição e raciocínio: o limite lateral pela esquerda em
significa que consideramos valores de
que se aproximam de
com
. Para todo
com
temos
. A função
é contínua em todo ponto, logo quando
aproxima de
(pela esquerda ou pela direita) os valores
aproximam de
. Formalizando com epsilon–delta (opcional, mas didático): dado
, se tomarmos
então, para
temos
Isto mostra que
.
Passo 5
Cálculo do limite pela direita
.
Mesma argumentação do passo anterior: para
próximos de
com
ainda vale
. Usando a continuidade da função identidade ou o mesmo argumento epsilon–delta, obtemos
Passo 6
Conclusão sobre os limites laterais e o limite bilateral.
Como
e
, os limites laterais existem e são iguais. Portanto o limite bilateral
existe e vale
.
Passo 7
Verificação da descontinuidade em
.
Definição de continuidade num ponto: uma função
é contínua em
se
existe e é igual a
. No nosso exemplo temos
(passo anterior), mas por definição da função
. Como
, a igualdade necessária para continuidade não ocorre. Logo
não é contínua em
.
Passo 8
Comentário final e alternativa rápida.
Este é um exemplo clássico de descontinuidade removível: redefinindo
onde
com
e
. Por exemplo,
e
(desde que
).]