Dê exemplo de uma função definida em \mathbb{R}, que não seja contínua em 3, mas que \lim _{x \rightarrow 3^{+}} f(x)=\lim _{x \rightarrow 3^{-}} f(x).

Passo 1

O enunciado pede um exemplo concreto de uma função f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} que satisfaça duas propriedades:
  1. Não seja contínua em 3.
  2. Tenha limites laterais iguais em 3, isto é, \lim_{x\to3^-} f(x)=\lim_{x\to3^+} f(x).
Informações dadas implicitamente: podemos construir f livremente desde que obedeça as condições acima. A resolução deve mostrar explicitamente que os limites laterais existem e são iguais e que, apesar disso, f não é contínua em 3.

Passo 2

Ideia para construir o exemplo (explicação didática): se queremos que as limites laterais existam e sejam iguais, uma forma simples é fazer com que, para todo x diferente de 3, a função coincida com uma função contínua em 3 (por exemplo, a função identidade x\mapsto x). Assim os valores de f(x) ao aproximar de 3 serão iguais aos da função contínua (logo os limites laterais existem e valem o mesmo). Para tornar f descontínua em 3 basta definir f(3) com um valor diferente do limite. Esse tipo de salto onde o valor no ponto difere do limite chama-se descontinuidade removível — porque basta redefinir f(3) para o valor do limite para restaurar a continuidade.

Passo 3

Definimos explicitamente a função (exemplo simples e padrão):
f(x)=\begin{cases} x, & x\neq 3,\\[4pt] 0, & x=3. \end{cases}
Vou agora mostrar passo a passo que esta função satisfaz as condições do enunciado.]

Passo 4

Cálculo do limite pela esquerda \lim_{x\to3^-} f(x).
Definição e raciocínio: o limite lateral pela esquerda em 3 significa que consideramos valores de x que se aproximam de 3 com x<3. Para todo x com x\neq 3 temos f(x)=x. A função x\mapsto x é contínua em todo ponto, logo quando x aproxima de 3 (pela esquerda ou pela direita) os valores x aproximam de 3. Formalizando com epsilon–delta (opcional, mas didático): dado \varepsilon>0, se tomarmos \delta=\varepsilon então, para 0<3-x<\delta temos
|f(x)-3|=|x-3|<\delta=\varepsilon.
Isto mostra que \lim_{x\to3^-} f(x)=3.

Passo 5

Cálculo do limite pela direita \lim_{x\to3^+} f(x).
Mesma argumentação do passo anterior: para x próximos de 3 com x>3 ainda vale f(x)=x. Usando a continuidade da função identidade ou o mesmo argumento epsilon–delta, obtemos
\lim_{x\to3^+} f(x)=3.

Passo 6

Conclusão sobre os limites laterais e o limite bilateral.
Como \lim_{x\to3^-} f(x)=3 e \lim_{x\to3^+} f(x)=3, os limites laterais existem e são iguais. Portanto o limite bilateral \lim_{x\to3} f(x) existe e vale 3.

Passo 7

Verificação da descontinuidade em 3.
Definição de continuidade num ponto: uma função f é contínua em a se \lim_{x\to a} f(x) existe e é igual a f(a). No nosso exemplo temos \lim_{x\to3} f(x)=3 (passo anterior), mas por definição da função f(3)=0. Como 0\neq 3, a igualdade necessária para continuidade não ocorre. Logo f não é contínua em 3.

Passo 8

Comentário final e alternativa rápida.
Este é um exemplo clássico de descontinuidade removível: redefinindo f(3)\) para \(3\) a função ficaria contínua. Alternativas igualmente válidas seriam quaisquer funções definidas por \[f(x)=\begin{cases} g(x), & x\neq 3,\\[4pt] c, & x=3, \end{cases}
onde g\] é contínua em \(3 com g(3)=L e c\neq L. Por exemplo, g(x)=\sin x e c=0 (desde que \sin 3\neq 0).]

Resposta

f(x)=\begin{cases} x, & x\neq 3,\\[4pt] 0, & x=3. \end{cases}]

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