Determine a série de Taylor da função
com centro
Passo 1
O enunciado pede a série de Taylor (Maclaurin, pois o centro é
) da função
em torno de
.
Informações dadas e o que queremos obter:
Informações dadas e o que queremos obter:
portanto queremos uma expressão em potências de
da forma
com os coeficientes
determinados explicitamente (ou por uma fórmula geral).
Passo 2
Primeiro lembrete importante (conceito): a série de Taylor de uma função
em
é
. Porém nem sempre é prático calcular muitas derivadas de forma direta; existe um método muito útil: escrever a função procurada como produto ou quociente de séries conhecidas e igualar coeficientes.
Aqui usamos que
e que já conhecemos a série de Maclaurin de
:
Vamos supor
e usar
para determinar os
por comparação de coeficientes (convolução de séries). Isso é algo que dá para fazer na prova sem derivadas longas.
Passo 3
Escrevendo o produto das séries:
Ao multiplicar séries, o coeficiente de
Isto fornece uma recorrência linear que permite obter todos os (a_m] sequencialmente.
Observação de paridade (teoria simples e útil):
é uma função par (só termos pares) e
também é par, então todos os coeficientes
para
ímpar devem ser zero:
Portanto só precisamos calcular os
.]
Passo 4
Calculemos os primeiros coeficientes explícitos usando a recorrência.
Para
:
Para
:
a única contribuição é com
, assim
a única contribuição é
conforme a observação de paridade.
Passo 5
Para
:
as contribuições vêm de (termo
) e
(termo com
):
as contribuições vêm de
Passo 6
Para
:
contribuem (
),
(
) e
(
):
contribuem
Substituindo
e
:
Calcule os termos numéricos:
logo
Passo 7
Para
:
contribuem :
contribuem
Substituindo valores conhecidos:
Calcule passo a passo:
Então
Simplifique
. Passando tudo para o mesmo denominador (720):
Portanto
Passo 8
Para
:
contribuem :
contribuem
Substituindo os valores:
Calcule cada termo:
Então
Agrupe os termos de denominadores comuns. Um caminho prático é transformar para o denominador
(que é
):
Assim a soma numérica é
Calcule o numerador:
portanto a soma é
. A equação fica
Podemos simplificar essa fração:
,
— há uma simplificação conhecida que leva a
Melhor transformar para a forma comum usada em livros:
(Verificação rápida:
e
; e
— o resultado correto, equivalendo às formas conhecidas, é
.)
Passo 9
Resumo dos coeficientes calculados:
,
,
,
,
, e assim por diante. Portanto os primeiros termos da série são
Passo 10
Fórmula geral (conceito avançado, útil na prova se pedirem forma fechada): os coeficientes estão relacionados aos números de Euler
(uma sequência inteira com sinais alternados definida via a expansão de
e
). Uma forma compacta é
onde os primeiros
são
,
,
,
,
, … (note que o sinal de
alterna). Essa expressão produz exatamente os coeficientes positivos que listamos acima.