-10 Um elétron com
está se movendo ao longo do cixo de um tubo evacuado com um comprimento de
do ponto de vista de um observador
em repouso em relação ao tubo. Para um observador
em repouso em relação ao elétron, é o tubo que está se movendo com velocidade
. Qual é o comprimento do tubo para o observador
?
Passo 1
Dados do enunciado:
- Um elétron tem
, onde significa . - Do ponto de vista do referencial
(tubo em repouso), o comprimento do tubo é . - No referencial
o elétron está em repouso e o tubo está se movendo com velocidade .
O que a questão pede:
- Determinar o comprimento do tubo medido pelo observador
(ou seja, o comprimento do tubo no referencial onde ele está em movimento com velocidade ).
Passo 2
Entendendo o que significa medir comprimento em relatividade (explicação didática):
- O comprimento próprio (ou comprimento no referencial de repouso do objeto) é o comprimento medido no referencial em que o objeto está em repouso. No enunciado, esse é o tubo em
, logo o comprimento próprio é . - Quando vemos o mesmo objeto se movendo com velocidade
em relação a nós, observamos um encurtamento na direção do movimento — isso chama-se contração de Lorentz. - A fórmula da contração de Lorentz diz que o comprimento medido no referencial onde o objeto se move é
onde
(fator de Lorentz) é dado por
e
. Aqui
é o comprimento próprio (medido no repouso do objeto) e
é o comprimento medido no referencial em que o objeto se move.
- Intuição rápida: quanto mais perto de
(velocidade próxima da da luz), maior e mais curto o objeto parecerá.
Passo 3
Aplicando a fórmula: primeiro calculamos
.
- Temos
. - Calculemos
:
- Agora
:
- Extraímos a raiz quadrada:
- Logo
Passo 4
Calcular o comprimento contraído
no referencial
:
- Usando
com e ,
Passo 5
Interpretando e arredondando para algarismos significativos:
- O enunciado deu
(três algarismos significativos), então damos a resposta com três algarismos significativos:
- Em centímetros isso é
Força: você chegou lá — o tubo, na vista do elétron, fica pequenininho, cerca de um centímetro e meio!