-10 Um elétron com \beta=0,999987 está se movendo ao longo do cixo de um tubo evacuado com um comprimento de 3,00 \mathrm{~m} do ponto de vista de um observador S em repouso em relação ao tubo. Para um observador S^{\prime} em repouso em relação ao elétron, é o tubo que está se movendo com velocidade v(=\beta c). Qual é o comprimento do tubo para o observador S^{\prime} ?

Passo 1

Dados do enunciado:
  • Um elétron tem \beta=0,999987, onde \beta significa \beta=v/c.
  • Do ponto de vista do referencial S (tubo em repouso), o comprimento do tubo é \;3,00\\ \mathrm{m}.
  • No referencial S' o elétron está em repouso e o tubo está se movendo com velocidade v=\beta c.
O que a questão pede:
  • Determinar o comprimento do tubo medido pelo observador S' (ou seja, o comprimento do tubo no referencial onde ele está em movimento com velocidade v).

Passo 2

Entendendo o que significa medir comprimento em relatividade (explicação didática):
  • O comprimento próprio (ou comprimento no referencial de repouso do objeto) é o comprimento medido no referencial em que o objeto está em repouso. No enunciado, esse é o tubo em S, logo o comprimento próprio é \;L_0=3,00\\ \mathrm{m}.
  • Quando vemos o mesmo objeto se movendo com velocidade v em relação a nós, observamos um encurtamento na direção do movimento — isso chama-se contração de Lorentz.
  • A fórmula da contração de Lorentz diz que o comprimento medido no referencial onde o objeto se move é
L = \frac{L_0}{\gamma},
onde \gamma (fator de Lorentz) é dado por
\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\beta^{2}}},
e \beta=v/c. Aqui L_0 é o comprimento próprio (medido no repouso do objeto) e L é o comprimento medido no referencial em que o objeto se move.
  • Intuição rápida: quanto mais perto de \beta=1 (velocidade próxima da da luz), maior \gamma e mais curto o objeto parecerá.

Passo 3

Aplicando a fórmula: primeiro calculamos \gamma.
  • Temos \beta=0,999987.
  • Calculemos \beta^{2}:
\beta^{2}=(0,999987)^{2}=0,999974000169.
  • Agora 1-\beta^{2}:
1-\beta^{2}=1-0,999974000169=0,000025999831.
  • Extraímos a raiz quadrada:
\sqrt{1-\beta^{2}}=\sqrt{0,000025999831}\approx0,0050990195.
  • Logo
\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\beta^{2}}}\approx\frac{1}{0,0050990195}\approx196{,}078.

Passo 4

Calcular o comprimento contraído L no referencial S':
  • Usando L=\dfrac{L_{0}}{\gamma} com L_{0}=3{,}00\\ \mathrm{m} e \gamma\approx196{,}078,
L=\frac{3{,}00}{196{,}078}\approx0{,}015306\\ \mathrm{m}.

Passo 5

Interpretando e arredondando para algarismos significativos:
  • O enunciado deu 3{,}00\\ \mathrm{m} (três algarismos significativos), então damos a resposta com três algarismos significativos:
L\approx0{,}0153\\ \mathrm{m}.
  • Em centímetros isso é
L\approx1{,}53\\ \mathrm{cm}.
Força: você chegou lá — o tubo, na vista do elétron, fica pequenininho, cerca de um centímetro e meio!

Resposta

0,0153\\ \mathrm{m} (ou 1,53\\ \mathrm{cm})

Exercícios relacionados